PRODUCTES NOTABLES: EXPLICACIÓ I EXERCICIS RESOLTS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els productes notables són operacions algebraiques, on s'expressen multiplicacions de polinomis, que no necessiten ser resoltes tradicionalment, sinó que amb l'ajuda de certes regles es poden trobar els resultats de les mateixes.

Els polinomis són multiplicats entris si, per tant és possible que tinguin una gran quantitat de termes i variables. Per fer més curt el procés, es fan servir les regles dels productes notables, que permeten fer les multiplicacions sense haver d'anar terme per terme.

Productes notables i exemples

Cada producte notable és una fórmula que resulta d'una factorització, composta per polinomis de diversos termes com ara binomis o trinomis, anomenats factors.

Els factors són la base d'una potència i tenen un exponent. Quan es multipliquen els factors, els exponents han de ser sumats.

Hi ha diverses fórmules de producte notable, unes són més usades que altres, depenent dels polinomis, i són les següents:

Binomi a el quadrat

És la multiplicació d'un binomi per si mateix, expressada en forma de potència, on els termes són sumats o restats:

a. Binomi de suma a l'quadrat: és igual a el quadrat del primer terme, més el doble del producte dels termes, més el quadrat del segon terme. S'expressa de la següent manera:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

A la figura següent es pot observar com es desenvolupa el producte segons la regla esmentada. El resultat és cridat de trinomi d'un quadrat perfecte.

exemple 1

(X + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(X + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(X + 5) ² = x² + 10x + 25.

exemple 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ².

b. Binomi d'una resta a l'quadrat: s'aplica la mateixa regla de el binomi d'una suma, només que en aquest cas el segon terme és negatiu. La seva fórmula és la següent:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ².

exemple 1

(2x - 6) ^febrer = (2x) ² - 2 (2x _* 6) +6 ²

(2x - 6) ^febrer = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ^febrer = 4x ² - 24x + 36.

Producte de binomis conjugats

Dos binomis són conjugats quan els segons termes de cada un són de signes diferents, és a dir, el de el primer és positiu i el de l'segon negatiu o viceversa. Es resol elevant cada monomi a el quadrat i es resten. La seva fórmula és la següent:

(a + b) _* (a - b)

A la següent figura es desenvolupa el producte de dos binomis conjugats, on s'observa que el resultat és una diferència de quadrats.

exemple 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ².

Producte de dos binomis amb un terme comú

És un dels productes notables més complexos i poc utilitzats perquè es tracta d'una multiplicació de dos binomis que tenen un terme en comú. La regla indica el següent:

• El quadrat de el terme comú.
• Més la suma dels termes que no són comuns i després multiplicar-los pel terme comú.
• Més la suma de la multiplicació dels termes que no són comuns.

Es representa en la fórmula: (x + a) _* (x + b) i és desenvolupada com es mostra a la imatge. El resultat és un trinomi quadrat no perfecte.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Hi ha la possibilitat que el segon terme (el terme diferent) sigui negatiu i la seva fórmula és la següent: (x + a) _* (x - b).

exemple 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

També pot ser el cas que tots dos termes diferents siguin negatius. La seva fórmula serà: (x - a) _* (x - b).

exemple 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Polinomi a el quadrat

En aquest cas hi ha més de dos termes i per a desenvolupar-lo, cadascun s'eleva a el quadrat i se sumen juntament amb el doble de la multiplicació d'un terme amb un altre; la seva fórmula és: (a + b + c) ² i el resultat de l'operació és un trinomi a el quadrat.

exemple 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomi a la galleda

És un producte notable complex. Per desenvolupar-lo es multiplica el binomi per la seva quadrat, de la següent manera:

a. Per al binomi a la galleda d'una suma:

• El cub de el primer terme, més el triple de l'quadrat de el primer terme pel segon.
• Més el triple del primer terme, pel segon a l'quadrat.
• Més el cub de l'segon terme.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ²)

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + b ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³.

exemple 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ^febrer + (3) ^març

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ +9 a ² + 27a + 27.

b. Per al binomi a la galleda d'una resta:

• El cub de el primer terme, menys el triple de l'quadrat de el primer terme pel segon.
• Més el triple del primer terme, pel segon a l'quadrat.
• Menys el cub de l'segon terme.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ²)

(ab) ³ = a ³ - 2a ² b + b ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³.

exemple 2

(b - 5) ^març = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ^març = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ^març = b ³ - 15b ² + 75B - 125.

Cub d'un trinomi

Es desenvolupa multiplicant-lo per la seva quadrat. És un producte notable molt extens perquè es tenen 3 termes elevats a la galleda, més el triple de cada terme elevat a el quadrat, multiplicat per cadascun dels termes, més sis vegades el producte dels tres termes. Vist d'una millor manera:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3AC ² + 3b ² c + 3BC ² + 6abc.

exemple 1

Exercicis resolts de productes notables

exercici 1

Desenvolupar el següent binomi a la galleda: (4x - 6) ^març.

solució

Recordant que un binomi a la galleda és igual a el primer terme elevat a la galleda, menys el triple de l'quadrat de el primer terme pel segon; més el triple del primer terme, pel segon a l'quadrat, menys el cub de l'segon terme.

(4x - 6) ^març = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ^febrer - (6) ^febrer

(4x - 6) ^març = 64X ³ - 3 (16x ²) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ^març = 64X ³ - 288x ² + 432x - 36.

exercici 2

Desenvolupar el següent binomi: (x + 3) (x + 8).

solució

Es té un binomi on hi ha un terme comú, que és xi el segon terme és positiu. Per desenvolupar-lo només s'ha d'elevar a el quadrat el terme comú, més la suma dels termes que no són comuns (3 i 8) i després multiplicar-los pel terme comú, més la suma de la multiplicació dels termes que no són comuns.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

referències

1. Àngel, AR (2007). Àlgebra Elemental. Pearson Educació,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Educació.
3. Das, S. (sf). Maths Plus 8. United Kingdom: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementary and Intermediate Algebra: A Combined Approach. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Educació.