PRODUCTE CREU: PROPIETATS, APLICACIONS I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El producte creu o producte vectorial és una forma de multiplicar dos o més vectors. Hi ha tres formes de multiplicar vectors, però cap d'aquestes és una multiplicació en el sentit usual de la paraula. Una d'aquestes formes és coneguda com a producte vectorial, la qual ens dóna com a resultat un tercer vector.

El producte vectorial, que també és anomenat producte creu o producte exterior, posseeix diferents propietats algebraiques i geomètriques. Aquestes propietats són de gran utilitat, sobretot pel que fa a l'estudi de la física.

definició

Una definició formal del producte vectorial és la següent: si A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) són vectors, llavors el producte vectorial d'A i B, a què denotarem com AxB, és:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

A causa de la notació AxB, es llegeix com "A creu B".

Un exemple de com emprar el producte exterior és que si A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4) són vectors, llavors usant la definició de producte vectorial tenim:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Una altra forma d'expressar el producte vectorial ve donada per la notació de determinants.

El càlcul d'un determinant de segon ordre ve donat per:

Per tant, la fórmula del producte vectorial donada en la definició pot ser reescrita com segueix:

Aquesta sol simplificar-se en un determinant de tercer ordre de la següent manera:

On i, j, k representen els vectors que formen la base de R ³.

Usant aquesta forma d'expressar el producte creu, tenim que l'exemple anterior el podem reescriure com:

propietats

Algunes propietats que posseeix el producte vectorial són les següents:

propietat 1

Si A és qualsevol vector en R ³, hem de:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0XA = 0

Aquestes propietats són senzilles de comprovar usant solament la definició. Si A = (a1, a2, a3) tenim que:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Si i, j, k representen la base unitària de R ³, podem escriure'ls com segueix:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Llavors, hem de es compleixen les següents propietats:

Com a regla mnemotècnica, per recordar aquestes propietats sol usar-se el següent cercle:

Allà hem de notar que qualsevol vector amb si mateix dóna com a resultat el vector 0, i la resta dels productes es pot obtenir amb la següent regla:

El producte creu de dos vectors consecutius en el sentit de les agulles de l'rellotge dóna el següent vector; i quan es considera el sentit contrari de les agulles de l'rellotge, el resultat és el següent vector amb signe negatiu.

Gràcies a aquestes propietats podem veure que el producte vectorial no és commutatiu; per exemple, només cal fixar-se que IXJ ≠ JX i. La següent propietat ens diu com es relaciona en general AxB i bxa.

propietat 2

Si A i B són vectors de R ³, hem de:

AxB = - (bxa).

demostració

Si A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), per definició de producte exterior tenim:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (bxa).

Podem observar també que aquest producte tampoc és associatiu amb el següent exemple:

ix (IXJ) = ixk = - j però (ixi) xj = 0xj = 0

D'això podem observar que:

ix (IXJ) ≠ (ixi) xj

propietat 3

Si A, B, C són vectors de R ³ i r és un nombre real, es compleix el següent:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Gràcies a aquestes propietats podem calcular el producte vectorial usant les lleis de l'àlgebra, sempre que es respecti l'ordre. Per exemple:

Si A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), podem reescriure'ls en funció de la base canònica de R ³.

Així, A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Després, aplicant les propietats anteriors:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (IXJ) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) +9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) +9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14I + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Propietat 4 (triple producte escalar)

Com esmentem a del principi, hi ha altres formes de multiplicar vectors més del producte vectorial. Una d'aquestes maneres és el producte escalar o producte intern, que es denota com A ∙ B i la definició és:

Si A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), llavors A ∙ B = A1B1 + a2b2 + a3b3

La propietat que relaciona tots dos productes és coneguda com el triple producte escalar.

Si A, B, i C són vectors de R ³, llavors A ∙ BxC = AxB ∙ C

Com a exemple veiem que, donats A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), es compleix aquesta propietat.

BxC = - 3 k - 12j + 20k - 16I - 10J - 2i = - 18i - 22j + 17K

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

D'altra banda:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Un altre triple producte és Ax (BxC), el qual es coneix com a triple producte vectorial.

Propietat maig (triple producte vectorial)

Si A, B i C són vectors de R ³, llavors:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Com a exemple veiem que, donats A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), es compleix aquesta propietat.

De l'exemple anterior sabem que BxC = (- 18, - 22, 17). Calculem Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

D'altra banda, hem de:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Així, tenim que:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

propietat juny

És una de les propietats geomètriques dels vectors. Si A i B són dos vectors en R ³ i Θ és l'angle que es forma entre aquests, llavors:

--AxB-- = --A ---- B - sin (Θ), on - ∙ - denota el mòdul o magnitud d'un vector.

La interpretació geomètrica d'aquesta propietat és la següent:

Sigui A = PR i B = PQ. Llavors, l'angle format pels vectors A i B és l'angle P de el triangle RQP, com es mostra en la següent figura.

Per tant, l'àrea de l'paral·lelogram que té com a costats adjacents PR i PQ és --A ---- B - sin (Θ), ja que podem prendre com a base a --A-- i la seva alçada ve donada per --B - sin (Θ).

Per això, podem concloure que --AxB-- és l'àrea d'aquest paral·lelogram.

exemple

Donat els següents vèrtexs d'un quadrilàter P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), mostrar que aquest quadrilàter és un paral·lelogram i trobar la seva àrea.

Per això primer vam determinar els vectors que determinen la direcció dels costats de l'quadrilàter. Això és:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2 - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Com podem observar A i C tenen el mateix vector director, per la qual cosa hem de tots dos són paral·lels; de la mateixa manera passa amb B i D. Per tant, concloem que PQRS és un paral.

Per tenir l'àrea d'aquest paral·lelogram, calculem bxa:

Bxa = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16I - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Per tant, l'àrea a l'quadrat serà:

--BxA-- ² = (- 6) ^febrer + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Es pot concloure que l'àrea de paral serà l'arrel quadrada de 89.

propietat juliol

Dos vectors A i B són paral·lels en R ³ si i només si AxB = 0

demostració

És clar que si A o B són el vector nul, es compleix que AxB = 0. Com que el vector zero és paral·lel a qualsevol altre vector, llavors la propietat és vàlida.

Si cap dels dos vectors és el vector zero, hem de les seves magnituds són diferents de zero; és a dir, tant --A-- ≠ 0 com --B-- ≠ 0, per la qual cosa haurem de --AxB-- = 0 si i només si sin (Θ) = 0, i això passa si i només si Θ = π o Θ = 0.

Per tant, podem concloure AxB = 0 si i només si Θ = π o Θ = 0, el que només passa quan tots dos vectors són paral·lels entre si.

propietat agost

Si A i B són dos vectors en R ³, llavors AxB és perpendicular tant a A com a B.

demostració

Per a aquesta demostració recordem que dos vectors són perpendiculars si A ∙ B és igual a zero. A més, sabem que:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, però AxA és igual a 0. Per tant, hem de:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Per això podem concloure que A i AxB són perpendiculars entre si. De manera anàloga, hem de:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Com BxB = 0, tenim que:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Per tant, AxB i B són perpendiculars entre si i amb això queda demostrada la propietat. Aquesta ens és de gran utilitat, ja que ens permeten determinar l'equació d'un pla.

exemple 1

Obtenir una equació de el pla que passa pels punts P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).

Sigui A = QR = (2-3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2-1,1 - 3, 3 - 2). Llavors A = - i + 3j + ki B = i - 2j + k. Per trobar el pla format per aquests tres punts n'hi ha prou amb trobar un vector que sigui normal a el pla, el qual és AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Amb aquest vector, i prenent a el punt P (1, 3, 2), podem determinar l'equació de el pla com segueix:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, i - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (i - 3) - (z - 2) = 0

Així, tenim que l'equació de el pla és 5x + 2y - z - 9 = 0.

exemple 2

Trobar l'equació de el plànol que conté a el punt P (4, 0, - 2) i que és perpendicular a cada un dels plans x - y + z = 0 i 2x + i - 4z - 5 = 0.

Sabent que un vector normal a un pla ax + by + cz + d = 0 és (a, b, c), hem de (1, -1,1) és un vector normal de x - y + z = 0 i (2,1, - 4) és un vector normal de 2x + i - 4z - 5 = 0.

Per tant un vector normal a l'pla buscat ha de ser perpendicular a (1, -1,1) ia (2, 1, - 4). Dit vector és:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3 k.

Llavors, tenim que el pla buscat és aquell que conté a el punt P (4,0, - 2) i té a el vector (3,6,3) com a vector normal.

3 (x - 4) + 6 (i - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

aplicacions

Càlcul de volum d'un paral·lelepípede

Una aplicació que posseeix el triple producte escalar és la de poder calcular el volum d'un paral·lelepípede les arestes vénen donades pels vectors A, B i C, com mostra la figura:

Aquesta aplicació la podem deduir de la següent manera: com vam dir anteriorment, el vector AxB és un vector que és normal a mapa de la A i B. També tenim que el vector - (AxB) és un altre vector normal a aquest pla.

Triem el vector normal que forma el menor angle amb el vector C; sense pèrdua de generalitat, sigui AxB el vector l'angle amb C és el més petit.

Hem de tant AxB com C tenen el mateix punt inicial. A més, sabem que l'àrea de l'paral que forma la base de l'paral·lelepípede és --AxB--. Per això, si l'altura de l'paral·lelepípede ve donada per h, hem de seu volum serà:

V = --AxB - h.

D'altra banda, considerem el producte escalar entre AxB i C, el qual pot ser descrit com segueix:

No obstant això, per propietats trigonomètriques hem de h = --C - cos (Θ), per la qual cosa hem de:

D'aquesta manera, ens queda que:

En termes generals, hem del volum d'un paral·lelepípede ve donat pel valor absolut de l'triple producte escalar AxB ∙ C.

exercicis resolts

exercici 1

Donat els punts P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), aquests punts formen un paral les arestes són PQ, PR i PS. Determinar el volum d'aquest paral·lelepípede.

solució

Si prenem a:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Usant la propietat de l'triple producte escalar, hem de:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Per tant, tenim que el volum d'aquest paral·lelepípede és de 52.

exercici 2

Determinar el volum d'un paral·lelepípede les arestes vénen donades per A = PQ, B = PR i C = PS, on els punts P, Q, R i S són (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5), respectivament.

solució

Primer hem de A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Calculem AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Després calculem a AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Així concloem que el volum d'aquest paral·lelepípede és d'1 unitat cúbica.

referències

1. Leithold, L. (1992). EL CÀLCUL amb Geometria Analítica. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Física Vol. 1. Mèxic: Continental.
3. Saenz, J. (sf). Càlcul Vectorial 1ed. Hipotenusa.
4. Spiegel, MR (2011). Anàlisi Vectorial 2ED. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Càlcul de Diverses Variables 4ed. Mc Graw Hill.