- Com es calcula la probabilitat freqüencial?
- Llei dels grans nombres
- Altres enfocaments de la probabilitat
- teoria lògica
- teoria subjectiva
- història
- Fenòmens massius i esdeveniments repetitius
- atributs
- exemple
- referències
La probabilitat freqüencial és una sub-definició dins de l'estudi de la probabilitat i els seus fenòmens. El seu mètode d'estudi pel que fa als esdeveniments i atributs, es basa en grans quantitats d'iteracions, observant així la tendència de cadascú a llarg termini o fins i tot a infinites repeticions.
Per exemple un sobre de gometes conté 5 gomes de cada color: blau, vermell, verd i groc. Es vol determinar la probabilitat que cada color té de sortir després d'una selecció aleatòria.
Font: Pexels
És tediós imaginar treure una goma, registrar-la, tornar-la, treure una goma i repetir el mateix diversos centenars o milers de vegades. Fins i tot es pot voler observar el comportament després de diversos milions d'iteracions.
Però a canvi resulta interessant descobrir, que a el cap de poques repeticions la probabilitat esperada de 25% no es compleix a cabalidad, al menys no per a tots els colors després de passar 100 iteracions.
Sota l'enfocament de la probabilitat freqüencial, l'assignació dels valors serà únicament a través de l'estudi de moltes iteracions. D'aquesta manera el procés ha de realitzar-se i registrar preferiblement de manera computada o emulada.
Múltiples corrents rebutgen la probabilitat freqüencial, argumentant falta d'empirisme i fiabilitat en els criteris d'aleatorietat.
Com es calcula la probabilitat freqüencial?
A l'programar l'experiment en qualsevol interfície capaç d'oferir una iteració netament aleatòria, es pot començar a estudiar la probabilitat freqüencial de l'fenomen mitjançant una taula de valors.
S'aprecia l'exemple anterior des de l'enfocament freqüencial:
Les dades numèriques corresponen a l'expressió:
N (a) = Nombre d'ocurrències / Nombre d'iteracions
On N (a) representa la freqüència relativa d'el succés "a"
"A" pertany a el conjunt de resultats possibles o espai mostral Ω
Ω: {vermell, verd, blau, groc}
S'aprecia una dispersió considerable en les primeres iteracions, a l'observar freqüències amb fins 30% de diferències entre si, la qual cosa és una dada molt elevat per a un experiment que teòricament posseeix esdeveniments amb la mateixa possibilitat (equiprobable).
Però a mesura que creixen les iteracions els valors semblen ajustar cada vegada més als presentats pel corrent teòrica i lògica.
Llei dels grans nombres
Com un acord inesperat entre els enfocaments teòric i freqüencial sorgeix la llei dels grans nombres. On s'estableix que després d'una considerable quantitat d'iteracions, els valors de l'experiment freqüencial es van aproximant als valors teòrics.
En l'exemple es pot notar com els valors s'aproximen a 0,250 a mesura que les iteracions creixen. Aquest fenomen és elemental en les conclusions de molts treballs probabilístics.
Font: Pexels
Altres enfocaments de la probabilitat
Existeixen altres 2 teories o enfocaments de la noció de probabilitat a més de la probabilitat freqüencial.
teoria lògica
El seu enfocament està orientat a la lògica deductiva dels fenòmens. En l'exemple anterior la probabilitat d'obtenir cada color és 25% de manera tancada. És a dir que les seves definicions i axiomes no contemplen desfasaments fora del seu rang de dades probabilístics.
teoria subjectiva
Està basada en el coneixement i creences prèvies que cada individu té sobre els fenòmens i atributs. Afirmacions com «Sempre plou per Setmana Santa» obeeixen a un patró de successos similars que han ocorregut amb anterioritat.
història
Els començaments de la seva implementació daten de segle XIX, quan Venn la cito en diversos dels seus treballs a Cambridge Anglaterra. Però no va ser sinó fins ja entrat el segle XX que 2 matemàtics estadístics van desenvolupar i van donar forma a la probabilitat freqüencial.
Un d'ells va ser Hans Reichenbach, qui desenvolupa la seva obra en publicacions com "The Theory of Probability" publicada el 1949.
L'altre va ser Richard Von Mises, qui va desenvolupar més a fons la seva obra mitjançant múltiples publicacions i va proposar considerar la probabilitat com una ciència matemàtica. Aquest concepte era nou en les matemàtiques i marcaria l'inici d'una era de creixement en l'estudi de la probabilitat freqüencial.
En realitat aquest succés marca l'única diferència amb les aportacions fets per la generació de Venn, Cournot i Helm. On la probabilitat passa a ser homòloga de ciències com la geometria i la mecànica.
<La teoria de les probabilitats tracta amb fenòmens massius i esdeveniments repetitius. Problemes en els quals o bé el mateix esdeveniment es repeteix una i altra vegada, o un gran nombre d'elements uniformes estan involucrats a el mateix temps> Richard Von Mises
Fenòmens massius i esdeveniments repetitius
Es poden classificar tres tipus:
- Físics: obeeixen a patrons de la naturalesa més enllà d'una condició d'aleatorietat. Per exemple el comportament de les molècules d'un element en una mostra.
- Atzar: la seva consideració fonamental és l'aleatorietat, com a l'llançar un dau en repetides vegades.
- Estadística biològica: seleccions de subjectes de prova segons les seves característiques i atributs.
En la teoria, l'individu que mesura juga un paper en la dada probabilístic, pel fet que són els seus coneixements i vivències les que articulen aquest valor o predicció.
A la probabilitat freqüencial es consideraran als esdeveniments com col·leccions a tractar, on l'individu no juga cap paper en l'estimació.
atributs
A cada element ocorre un atribut, el qual serà variable segons la naturalesa d'aquest. Per exemple en el tipus de fenomen físic les molècules d'aigua tindran diferents velocitats.
En el llançament dels daus coneixem l'espai mostral Ω que representa els atributs de l'experiment.
Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hi ha altres atributs com ser parell Ω P o ser imparell Ω I
Ω p: {2, 4, 6}
Ω I: {1, 3, 5}
Els quals poden definir-se com atributs no elementals.
exemple
- Es vol calcular la freqüència de cada sumatori possible en el llançament de dos daus.
Per això es programa un experiment on dues fonts de valors aleatoris entre se sumin a cada iteració.
Les dades es registren en una taula i s'estudien les tendències en els grans nombres.
S'observa que els resultats poden variar notablement entre les iteracions. No obstant això la llei dels grans nombres pot apreciar-se en l'aparent convergència presentada en les dues últimes columnes.
referències
- Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. Colin GG Aitken. School of Mathematics. The University of Edinburgh, UK
- Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.
F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachusetts Institute of Technology; Akamai Technologies
- The Arithmetic Teacher, Volum 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Universitat de Michigan.
- Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction / edited by Stephen R. Campbell and Rina Zazkis. Ablex publishing 88 Post Road West, Westport CT 06881
- Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.