PRINCIPI MULTIPLICADOR: TÈCNIQUES DE COMPTATGE I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

El principi multiplicador és una tècnica que s'utilitza per a resoldre problemes de comptatge per trobar la solució sense que sigui necessari enumerar els seus elements. És conegut també com el principi fonamental de l'anàlisi combinatòria; es basa en la multiplicació successiva per determinar la forma en què pot ocórrer un esdeveniment.

Aquest principi estableix que, si una decisió (d ₁) pot ser presa de n maneres i una altra decisió (d ₂) pot prendre de m maneres, el nombre total de maneres en les que poden ser preses les decisions d ₁ i d ₂ serà igual a multiplicar de n _* m. Segons el principi, cada decisió es realitza una rere l'altra: nombre de maneres = N _{1 *} N ₂… _* N _x maneres.

exemples

exemple 1

Paula planeja anar a cinema amb les seves amigues, i per escollir la roba que farà servir, separo 3 bruses i 2 faldilles. De totes maneres es pot vestir Paula?

solució

En aquest cas, Paula ha de prendre dues decisions:

d ₁ = Escollir entre 3 bruses = n

d ₂ = Escollir entre 2 faldilles = m

D'aquesta manera Paula té n _* m decisions a prendre o maneres diferents de vestir-se.

n _* m = 3 _* 2 = 6 decisions.

El principi multiplicatiu neix de la tècnica de l'diagrama de l'arbre, que es tracta d'un diagrama que relaciona tots els possibles resultats, de manera que cadascú pugui ocórrer un nombre finit de vegades.

exemple 2

Mario tenia molta set, així que va anar a la fleca a comprar un suc. Luis ho atén i li diu que té en dues mides: gran i petit; i quatre sabors: poma, taronja, llimona i raïm. De totes maneres pot Mario escollir el suc?

solució

En el diagrama es pot observar que Mario té 8 maneres diferents per escollir el suc i que, a l'igual que en el principi multiplicatiu, aquest resultat s'obté per la multiplicació de n _* m. L'única diferència és que a través d'aquest diagrama es pot saber com són les maneres en què Mario escull el suc.

D'altra banda, quan el nombre de resultats possibles és molt gran, resulta més pràctic utilitzar el principi multiplicatiu.

Tècniques de recompte

Les tècniques de comptatge són mètodes usats per fer un recompte directe, i així saber el nombre de possibles arranjaments que poden tenir els elements d'un conjunt determinat. Aquestes tècniques estan basades en diversos principis:

Principi d'addició

Aquest principi estableix que, si dos esdeveniments min no poden ocórrer a el mateix temps, el nombre de formes com pot ocórrer el primer o segon esdeveniment serà la suma de m + n:

Nombre de formes = m + n… + x formes diferents.

exemple

Antonio vol fer un viatge però no decideix a quin destí; a l'Agència de Turisme de Sud li ofereixen una promoció per viatjar a New York o Las Vegas, mentre que l'Agència de Turisme de l'Est li recomana viatjar a França, Itàlia o Espanya. Quantes alternatives de viatges diferents li ofereixen Antonio?

solució

Amb l'Agència de Turisme de Sud Antonio té 2 alternatives (New York o Las Vegas), mentre que amb l'Agència de Turisme de l'Est té 3 opcions (França, Itàlia o Espanya). El nombre d'alternatives diferents és:

Nombre d'alternatives = m + n = 2 + 3 = 5 alternatives.

Principi de permutació

Es tracta d'ordenar específicament tots o alguns dels elements que formen un conjunt, per a facilitar el recompte de tots els possibles arranjaments que poden fer-se amb els elements.

El nombre de permutacions de n elements diferents, presos tots alhora, es representa com:

_n P _n = n!

exemple

Quatre amics volen fer-se una fotografia i volen saber de quantes formes diferents poden ordenar-se.

solució

Es vol conèixer el conjunt de totes les formes possibles en què les 4 persones es poden posar per prendre la fotografia. Així, s'ha de:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 formes diferents.

Si el nombre de permutacions de n elements disponibles és pres per parts d'un conjunt que està format per r elements, es representa com:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

exemple

En una sala d'aula es tenen 10 llocs. Si per a la classe assisteixen 4 estudiants, de quantes maneres diferents els estudiants poden ocupar els llocs?

solució

S'ha que el nombre total de el conjunt de cadires és 10, i d'aquestes només seran usades 4. S'aplica la fórmula donada per determinar el nombre de permutacions:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 maneres d'ocupar els llocs.

Hi ha casos en els quals alguns dels elements disponibles d'un conjunt es repeteixen (són iguals). Per calcular el nombre d'arranjaments prenent tots els elements alhora s'utilitza la següent fórmula:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* N ₂ !… n _r !

exemple

Quantes paraules diferents de quatre lletres poden ser formades a partir de la paraula "llop"?

solució

En aquest cas es tenen 4 elements (lletres) dels quals dos d'ells són exactament iguals. Aplicant la fórmula donada, se sap quantes paraules diferents resulten:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* N ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 paraules diferents.

Principi de combinació

Es tracta d'arreglar tots o alguns dels elements que formen un conjunt sense un ordre específic. Per exemple, si es té un arranjament XYZ, aquest serà idèntic als arranjaments ZXY, YZX, ZYX, entre d'altres; això és perquè, tot i no estar en el mateix ordre, els elements de cada acord són els mateixos.

Quan es prenen alguns elements (r) del conjunt (n), el principi de combinació és donat per la següent fórmula:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

exemple

En una botiga venen 5 tipus diferents de xocolata. De quantes maneres diferents es poden escollir 4 xocolates?

solució

En aquest cas s'han d'escollir 4 xocolates dels 5 tipus que venen a la botiga. L'ordre en què són elegits no importa i, a més, es pot escollir més de dues vegades un tipus de xocolata. Aplicant la fórmula, s'ha de:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 maneres diferents d'escollir 4 xocolates.

Quan es prenen tots els elements (r) del conjunt (n), el principi de combinació és donat per la següent fórmula:

_n C _{n =} n!

exercicis resolts

exercici 1

Es té un equip de beisbol amb 14 integrants. De quantes maneres es poden assignar 5 posicions per a un joc?

solució

El conjunt està integrat per 14 elements i es vol assignar 5 posicions específiques; és a dir, que l'ordre importa. S'aplica la fórmula de permutació on n elements disponibles són presos per parts d'un conjunt que està format per r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

On n = 14 ir = 5. Se substitueix a la fórmula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240.240 mètode per a passar les 9 posicions de el joc.

exercici 2

Si una família de 9 integrants va de viatge i compra les seves butlletes amb els llocs consecutius, de quantes formes diferents poden seure?

solució

Es tracta de 9 elements que ocuparan 9 seients de manera consecutiva.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362.880 maneres diferents de seure.

referències

1. Hopkins, B. (2009). Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History Modules, and Articles.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemàtiques discretes. Pearson Educació,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Finite and Discrete Math Problem Solver. Research & Education Association Editors.
4. Padró, FC (2001). Matemàtica discreta. Politècnica. de Catalunya.
5. Steiner, I. (2005). Matemàtiques per a les ciències aplicades. Reverte.