- probabilitat
- Probabilitat d'un esdeveniment
- ¿En què consisteix en principi additiu?
- exemples
- primer exemple
- segon exemple
- tercer exemple
- referències
El principi additiu és una tècnica de comptatge en probabilitat que permet mesurar de quantes maneres es pot realitzar una activitat que, al seu torn, té diverses alternatives per ser realitzada, de les quals es pot triar només una alhora. Un exemple clàssic d'això és quan es vol escollir una línia de transport per anar d'un lloc a un altre.
En aquest exemple, les alternatives correspondran a totes les línies de transport possibles que cobreixin el recorregut desitjat, bé sigui aèries, marítimes o terrestres. No podem anar a un lloc usant dos mitjans de transport simultàniament; cal que triem només un.
El principi additiu ens diu que la quantitat de maneres que tenim per fer aquest viatge correspon a la suma de cada alternativa (mitjà de transport) possible que hi hagi per anar a al lloc desitjat, això inclourà tot els mitjans de transport que facin escala en algun lloc (o llocs) intermedi.
Òbviament, en l'exemple anterior sempre escollirem l'alternativa més còmoda i que més s'ajusti a les nostres possibilitats, però probabilísticament és de summa importància conèixer de quantes maneres es pot realitzar un esdeveniment.
probabilitat
De manera general, la probabilitat és el camp de les matemàtiques que s'encarrega d'estudiar successos o fenòmens i experiments aleatoris.
Un experiment o fenomen aleatori és una acció que no sempre dóna els mateixos resultats, fins i tot si es realitza amb les mateixes condicions inicials, sense alterar res en el procediment inicial.
Un exemple clàssic i senzill per entendre en què consisteix un experiment aleatori és l'acció de llançar una moneda o un dau. L'acció sempre serà la mateixa, però no sempre obtindrem "cara" o un "6", per exemple.
La probabilitat s'encarrega de proporcionar tècniques per determinar amb quina freqüència pot ocórrer un succés aleatori determinat; entre altres intencions, la principal és predir possibles esdeveniments futurs que són incerts.
Probabilitat d'un esdeveniment
De manera més particular, la probabilitat que un esdeveniment A passi és un nombre real entre zero i un; és a dir, un nombre que pertany a l'interval. Es denota per P (A).
Si P (A) = 1, llavors la probabilitat que ocorri l'esdeveniment A és de el 100%, i si és zero no existeix cap possibilitat que passi. L'espai mostral és el conjunt de tots els possibles resultats que es poden obtenir realitzant un experiment aleatori.
Existeixen al menys quatre tipus o conceptes de probabilitat, depenent de el cas: probabilitat clàssica, probabilitat freqüentista, probabilitat subjectiva i probabilitat axiomàtica. Cada un s'enfoca diferents casos.
La probabilitat clàssica abasta el cas en què l'espai mostral té una quantitat finita d'elements.
En aquest cas, la probabilitat que ocorri un esdeveniment A serà la quantitat d'alternatives que es tenen per obtenir el resultat desitjat (és a dir, la quantitat d'elements del conjunt A) dividits entre la quantitat d'elements de l'espai mostral.
Aquí s'ha de considerar que tots els elements de l'espai mostral han de ser igualment probables (per exemple, com un dau que no estigui alterat, en el qual la probabilitat d'obtenir qualsevol dels sis números és la mateixa).
Per exemple, quina és la probabilitat que a l'llançar un dau s'obtingui un nombre imparell? En aquest cas el conjunt A estaria format per tots els nombres imparells que hi ha entre 1 i 6, i l'espai mostral estaria compost per tots els números de l'1 a l'6. Llavors, A té 3 elements i l'espai mostral té 6. Per tant, P (A) = 3/6 = 1/2.
¿En què consisteix en principi additiu?
Com es va dir anteriorment, la probabilitat mesura la freqüència amb què un cert esdeveniment ocorri. Com a part de poder determinar aquesta freqüència, és important conèixer de quantes formes aquest esdeveniment pot ser realitzat. El principi additiu ens permet fer aquest càlcul en un cas particular.
El principi additiu estableix el següent: Si A és un esdeveniment que té "a" maneres de ser realitzat, i B és un altre esdeveniment que té "b" maneres de ser realitzat, i si a més només pot ocórrer A o B i no tots dos a l' mateix temps, llavors les maneres de ser realitzat a o b (A∪B) són a + b.
En general, això s'estableix per la unió d'una quantitat finita de conjunts (major o igual que 2).
exemples
primer exemple
Si una llibreria ven llibres de literatura, biologia, medicina, arquitectura i química, dels quals posseeix 15 tipus diferents de llibres de literatura, 25 de biologia, 12 de medicina, 8 de arquitectura i 10 de química, quantes opcions té una persona per escollir un llibre d'arquitectura o un llibre de biologia?
El principi additiu ens diu que la quantitat d'opcions o maneres de fer aquesta elecció és 8 + 25 = 33.
Aquest principi també es pot aplicar en el cas que sigui un únic esdeveniment el involucrat, que al seu torn tingui diferents alternatives per a ser realitzat.
Suposem que es vol realitzar certa activitat o esdeveniment A, i que hi ha diverses alternatives per a això, diguem n.
Al seu torn, la primera alternativa té a 1 maneres de ser realitzada, la segona alternativa té a 2 maneres de ser realitzada, i així successivament, l'alternativa nombre n es pot realitzar de a n maneres.
El principi additiu estableix que l'esdeveniment A es pot realitzar de a 1 + a 2 +… + a n maneres.
segon exemple
Suposem que una persona vol comprar un parell de sabates. Quan arriba a la sabateria troba solament dos models diferents de la seva talla de calçat.
D'un hi ha dos colors disponibles, i de l'altre cinc colors disponibles. Quantes maneres té aquesta persona de fer aquesta compra? Pel principi additiu la resposta és 2 + 5 = 7.
El principi additiu s'ha d'usar quan es vulgui calcular la manera de realitzar un esdeveniment o un altre, no ambdós simultàniament.
Per calcular les diferents formes de realitzar un esdeveniment juntament ("i") amb un altre -és a dir, que tots dos esdeveniments hagin ocórrer de manera simultàniament s'usa el principi multiplicatiu.
El principi additiu també pot interpretar-se en termes de probabilitat de la següent manera: la probabilitat que ocorri un esdeveniment A o un esdeveniment B, la qual cosa es denota per P (A∪B), sabent que no pot passar A simultàniament a B, ve donada per P (A∪B) = P (A) + P (B).
tercer exemple
Quina és la probabilitat d'obtenir un 5 a l'llançar un dau o cara a l'llançar una moneda?
Segons el vist anteriorment, en general la probabilitat d'obtenir un nombre qualsevol a l'llançar un dau és 1/6.
En particular, la probabilitat d'obtenir un 5 també va és 1/6. Anàlogament, la probabilitat d'obtenir cara a l'llançar una moneda és 1/2. Per tant, la resposta a la pregunta anterior és P (A∪B) = '1/6 + 1/2 = a 2/3.
referències
- Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. CRC Press.
- Cifuentes, JF (2002). Introducció a la Teoria de Probabilitat. Nacional de Colòmbia.
- Daston, L. (1995). Classical Probability in the Enlightenment. Princeton University Press.
- Hopkins, B. (2009). Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History Modules, and Articles.
- Johnsonbaugh, R. (2005). Matemàtiques discretes. Pearson Educació.
- Larson, HJ (1978). Introducció a la teoria de probabilitats i inferència estadística. Editorial Limusa.
- Lutfiyya, LA (2012). Finite and Discrete Math Problem Solver. Research & Education Association Editors.
- Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Probabilitat i estadística matemàtica: aplicacions a la pràctica clínica i en la gestió sanitària. Edicions Díaz de Santos.
- Padró, FC (2001). Matemàtica discreta. Politècnica. de Catalunya.
- Steiner, I. (2005). Matemàtiques per a les ciències aplicades. Reverte.