- Elements d'un polígon
- Polígons convexos i no-convexos
- Propietats de l'polígon convex
- Diagonals i angles en polígons convexos
- exemples
- exemple 1
- exemple 2
Un polígon convex és una figura geomètrica continguda en un pla que es caracteritza perquè disposa de totes les seves diagonals en el seu interior i els angles mesuren menys de 180 º. Entre les seves propietats es troben les següents:
1) Consta de n segments consecutius on l'últim dels segments s'uneix a el primer. 2) Cap dels segments es creuen de manera tal que delimita el plànol en una regió interior i una altra exterior. 3) Tots i cada un dels angles de la regió interior són estrictament menors que un angle pla.
Figura 1. Els polígons 1, 2 i 6 són convexos. (Elaborat per Ricardo Pérez).
Una manera senzilla de determinar si un polígon és convex o no consisteix a considerar la recta que passa per un dels seus costats, la qual determina dos semiplans. Si en cada recta que passa per una banda, els altres costats de polígon són al mateix semiplà, es tracta llavors d'un polígon convex.
Elements d'un polígon
Tot polígon consta dels següents elements:
- Costats
- Vèrtexs
Els costats són cada un dels segments consecutius que conformen el polígon. En un polígon cap dels segments que el conformen pot tenir un extrem obert, en aquest cas es tindria una línia poligonal però no un polígon.
Els vèrtexs són els punts d'unió de dos segments consecutius. En un polígon, el nombre de vèrtexs sempre iguala el nombre de costats.
Si dos costats o segments d'un polígon es creuen, llavors es té un polígon creuat. El punt d'encreuament no es considera un vèrtex. Un polígon creuat és un polígon no-convex. Els polígons estrellats són polígons creuats i per tant no són convexos.
Quan un polígon té tots els seus costats de la mateixa longitud, es té llavors un polígon regular. Tots els polígons regulars són convexos.
Polígons convexos i no-convexos
La figura 1 mostra diversos polígons, alguns d'ells són convexos i altres no ho són. Anem a analitzar-los:
El número 1 és un polígon de tres costats (triangle) i tots els angles interns són menors a 180 º, per tant és un polígon convex. Tots els triangles són polígons convexos.
El número 2 és un polígon de quatre costats (quadrilàter) on cap dels costats es intercepta i més tots i cadascun dels angles interiors és menor de 180 º. Es tracta llavors d'un polígon convex de quatre costats (quadrilàter convex).
D'altra banda, el nombre 3 és un polígon de quatre costats però un dels seus angles interiors és més gran que 180º, pel que no compleix la condició de convexitat. És a dir, és un polígon de quatre costats no-convex que s'anomena quadrilàter còncau.
El número 4 és un polígon de quatre segments (costats), dos dels quals es intercepten. Els quatre angles interiors són menors que 180º, però com dos costats es creuen es tracta d'un polígon creuat no-convex (quadrilàter creuat).
Un altre cas és el nombre 5. Aquest es tracta d'un polígon de cinc costats, però com un dels seus angles interiors és més gran que 180º, es té llavors un polígon còncau.
Finalment, el número 6, que també disposa de cinc costats, té tots els seus angles interiors menors a 180 º, de manera que es tracta d'un polígon convex de cinc costats (pentàgon convex).
Propietats de l'polígon convex
1- Un polígon no-creuat o polígon simple divideix el plànol que el conté en dues regions. La regió interior i la regió exterior, sent el polígon la frontera entre les dues regions.
Però si addicionalment el polígon és convex, llavors es té una regió interior que és simplement connexa, el que significa que prenent dos punts qualssevol de la regió interior, sempre pot unir-se per un segment que pertany íntegrament a la regió interior.
Figura 2. Un polígon convex és simplement connex, mentre un còncau no ho és. (Elaborat per Ricardo Pérez).
2- Tot angle interior d'un polígon convex és menor que un angle pla (180º).
3- Tots els punts interiors d'un polígon convex sempre pertanyen a un dels semiplans definits per la recta que passa per dos vèrtexs consecutius.
4- En un polígon convex totes les diagonals estan totalment contingudes a la regió poligonal interior.
5- Els punts interiors d'un polígon convex pertanyen en la seva totalitat a el sector angular convex definit per cada angle interior.
6- Tot polígon en el qual tots els seus vèrtexs estan sobre un circumferència és un polígon convex el qual es denomina polígon cíclic.
7- Tot polígon cíclic és convex, però no tot polígon convex és cíclic.
8- Tot polígon no-creuat (polígon simple) que tingui tots els seus costats d'igual longitud és convex i se li coneix com a polígon regular.
Diagonals i angles en polígons convexos
9- El nombre total N de diagonals d'un polígon convex de n costats està donat per la següent fórmula:
N = ½ n (n - 3)
Demostració: En un polígon convex de n costats de cada vèrtex es tracen n - 3 diagonals, ja que queden exclosos el propi vèrtex i els dos adjacents. Com que hi ha n vèrtexs es tracen en total n (n - 2) diagonals, però cada diagonal va ser traçada dues vegades, de manera que el nombre de diagonals (sense repetició) és n (n-2) / 2.
10- La suma S dels angles interiors d'un polígon convex de n costats està donada per la següent relació:
S = (n - 2) 180º
exemples
exemple 1
Hexàgon cíclic, és un polígon de sis costats i sis vèrtexs, però tots els vèrtexs estan sobre la mateixa circumferència. Tot polígon cíclic és convex.
Hexàgon cíclic.
exemple 2
Determinar el valor dels angles interns d'un enneàgon regular.
Solució: El enneàgon és un polígon de 9 costats, però si a més és regular tots els seus costats i angles són iguals.
La suma de tots els angles interns d'un polígon de 9 costats és:
S = (9 - 2) 180º = 7 * 180 º = 1260º
Però es tenen 9 angles interns de la mateixa mesura α, de manera que s'ha de complir la següent igualtat:
S = 9 α = 1260º
D'on es dedueix que la mesura α de cada angle intern de l'enneàgon regular és:
α = 1260º / 9 = 140 º