PIRÀMIDE HEXAGONAL: DEFINICIÓ, CARACTERÍSTIQUES I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

Una piràmide hexagonal és un poliedre format per un hexàgon, que és la base, i sis triangles que parteixen des dels vèrtexs de l'hexàgon i concorren en un punt exterior a el plànol que conté la base. A aquest punt de concurrència se li coneix com el vèrtex o l'àpex de la piràmide.

Un poliedre és un cos geomètric tridimensional tancat les seves cares són figures planes. Un hexàgon és una figura plana tancada (polígon) formada per sis costats. Si els sis costats tenen la mateixa longitud i formen angles iguals, es diu que és regular; en cas contrari és irregular.

definició

Una piràmide hexagonal conté set cares, la base i els sis triangles laterals, de les quals la base és l'única que no toca a vèrtex.

Es diu que la piràmide és recta si tots els triangles laterals són isòsceles. En aquest cas l'altura de la piràmide és el segment que va des del vèrtex fins al centre de l'hexàgon.

En general, l'altura d'una piràmide és la distància entre el vèrtex i el pla de la base. Es diu que la piràmide és obliqua si no tots els triangles laterals són isòsceles.

Si l'hexàgon és regular ia més la piràmide és recta, es diu que és una piràmide hexagonal regular. Anàlogament, si l'hexàgon és irregular o la piràmide és obliqua, es diu que és una piràmide hexagonal irregular.

Característiques

Còncava o convexa

Un polígon és convex si la mesura de tots els angles interiors és menor de 180 graus. Geomètricament, això és equivalent a dir que, donats un parell de punts dins de l'polígon, el segment de recta està contingut en el polígon. En cas contrari es diu que el polígon és còncau.

Si l'hexàgon és convex, es diu que la piràmide és una piràmide hexagonal convexa. En cas contrari, es dirà que és una piràmide hexagonal còncava.

arestes

Les arestes d'una piràmide són els costats dels sis triangles que la conformen.

apotema

L'apotema de la piràmide és la distància entre el vèrtex i els costats de la base de la piràmide. Aquesta definició només té sentit quan la piràmide és regular, ja que si és irregular aquesta distància varia depenent de el triangle que es consideri.

En canvi, en les piràmides regulars l'apotema correspondrà amb l'altura de cada triangle (ja que cada un és isòsceles) i serà la mateixa en tots els triangles.

L'apotema de la base és la distància que hi ha entre un dels costats de la base i el centre d'aquesta. Per la manera en què es defineix, l'apotema de la base també té sentit només en piràmides regulars.

denotacions

L'altura d'una piràmide hexagonal es denotarà per h, l'apotema de la base (en el cas regular) per APB i l'apotema de la piràmide (també en el cas regular) per AP.

Una característica de les piràmides hexagonals regulars és que h, APB i AP formen un triangle rectangle d'hipotenusa AP i catets h i APB. Pel teorema de Pitàgores s'ha de AP = √ (h ^ 2 + APB ^ 2).

La imatge anterior representa una piràmide regular.

Com calcular l'àrea? fórmules

Penseu una piràmide hexagonal regular. Sigui A la mida de cada costat de l'hexàgon. Llavors A correspon a la mida de la base de cada triangle de la piràmide i, per tant, a les arestes de la base.

L'àrea d'un polígon és el producte de l'perímetre (la suma dels costats) per l'apotema de la base, dividit entre dos. En el cas d'un hexàgon seria 3 * A * APB.

Es pot observar que l'àrea d'una piràmide hexagonal regular és igual a sis vegades l'àrea de cada triangle de la piràmide més l'àrea de la base. Com anteriorment s'ha esmentat, l'altura de cada triangle correspon a l'apotema de la piràmide, AP.

Per tant, l'àrea de cada triangle de la piràmide ve donat per A * AP / 2. Així, l'àrea d'una piràmide hexagonal regular és 3 * A * (APB + AP), on A és una aresta de la base, APB és l'apotema de la base i AP l'apotema de la piràmide.

Càlcul en piràmides hexagonals irregulars

En el cas d'una piràmide hexagonal irregular no hi ha una fórmula directa per calcular l'àrea com en el cas anterior. Això es deu al fet que cada triangle de la piràmide va tenir una àrea diferent.

En aquest cas, s'haurà de calcular l'àrea de cada triangle per separat i l'àrea de la base. Després, l'àrea de la piràmide serà la suma de totes les àrees calculades anteriorment.

Com calcular el volum? fórmules

El volum d'una piràmide de forma hexagonal regular és el producte de l'altura de la piràmide per l'àrea de la base entre tres. Així, el volum d'una piràmide hexagonal regular ve donat per A * APB * h, on A és una aresta de la base, APB és l'apotema de la base i h és l'altura de la piràmide.

Càlcul en piràmides hexagonals irregulars

Anàlogament a l'àrea, en el cas d'una piràmide hexagonal irregular no hi ha una fórmula directa per calcular el volum ja que les arestes de la base no tenen la mateixa mesura per tractar-se d'un polígon irregular.

En aquest cas s'haurà de calcular l'àrea de la base per separat i el volum serà (h * Àrea de la base) / 3.

exemple

Calculeu l'àrea i el volum d'una piràmide hexagonal regular d'altura de 3 cm, la base és un hexàgon regular de 2 cm cada costat i l'apotema de la base és 4 cm.

solució

Primer s'ha de calcular l'apotema de la piràmide (AP), que és l'única dada que falta. Observant la imatge de dalt, es pot veure que l'altura de la piràmide (3 cm) i l'apotema de la base (4 cm) formen un triangle rectangle; per tant, per calcular l'apotema de la piràmide es fa ús de l'teorema de Pitàgores:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Així, utilitzant la fórmula escrita dalt se segueix que l'àrea és igual a 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

D'altra banda, utilitzant la fórmula de l'volum s'obté que el volum de la piràmide donada és 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

referències

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matemàtiques: un enfocament de resolució de problemes per a mestres d'educació bàsica. López Mateos Editors.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Matemàtiques 3. Editorial Progrés.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matemàtiques 6. Editorial Progrés.
4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, MP (2005). Curs de Matemàtiques 3r. Editorial Progrés.
5. Kinsey, L., & Moore, ET (2006). Symmetry, Shape and Space: An Introduction to Mathematics Through Geometry (illustrated, reprint ed.). Springer Science & Business Mitjana.
6. Mitchell, C. (1999). Dazzling Math Line Designs (Illustrated ed.). Escolàstica Inc.
7. R., MP (2005). Jo dibuix 6è. Editorial Progrés.