- Circumferències i cercles
- Exercicis de d emostración de calcular el perímetre de l'cercle
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució
- - Exercici 3
- solució
- Càlcul de l'àrea de la regió ombrejada
- Càlcul de l'perímetre de la regió ombrejada
- aplicacions
- referències
El perímetre de l'cercle és el conjunt de punts que formen el contorn d'un cercle i també es coneix com a longitud de la circumferència. Depèn de el radi, ja que una circumferència més gran, evidentment tindrà un contorn més gran.
Sigui P el perímetre d'un cercle i R el radi de la mateixa, llavors podem calcular P amb la següent equació:
El perímetre de l'cercle (en aquest cas una pizza) depèn del seu radi. Font: Pixabay.
On π és un nombre real (es llegeix "pi") que val aproximadament 3.1416… Els punts suspensius es deuen al fet que π té infinits decimals. Per això a l'hora de fer els càlculs, cal arrodonir el seu valor.
No obstant això per a la majoria de les aplicacions n'hi ha prou amb prendre la quantitat indicada aquí, o bé emprar tots els decimals que llanci la calculadora amb la qual es treballi.
Si en comptes de tenir el radi, es prefereix utilitzar el diàmetre D, que sabem és el doble de l'ràdio, el perímetre s'expressa així:
Com el perímetre és una longitud, ha de venir sempre expressat en unitats com ara metres, centímetres, peus, polzades i més, segons el sistema que es prefereixi.
Circumferències i cercles
Sovint són termes que s'utilitzen indistintament, és a dir, com a sinònims. Però ocorre que sí que hi ha diferències entre ells.
La paraula "perímetre" prové de el grec "peri" que significa contorn i "metro" o mesurar. La circumferència és el contorn o perímetre de l'cercle. Formalment es defineix així:
Per la seva banda, el cercle es defineix així:
El lector pot advertir la diferència subtil entre ambdós conceptes. La circumferència només pretén cobrir el conjunt de punts de la vora, mentre que el cercle és el conjunt de punts des de la vora fins a l'interior, de la qual la circumferència és la frontera.
Exercicis de d emostración de calcular el perímetre de l'cercle
Mitjançant els següents exercicis, es posaran en pràctica els conceptes abans descrits, així com d'altres que s'aniran explicant a mesura que vagin apareixent. Començarem des del més senzill i s'anirà augmentant el grau de dificultat progressivament.
- Exercici 1
Trobar el perímetre i l'àrea de l'cercle de radi 5 cm.
solució
S'aplica directament l'equació donada a l'començament:
Per calcular l'àrea A s'empra la següent fórmula:
- Exercici 2
a) Trobeu el perímetre i l'àrea de la regió en blanc de la següent figura. El centre de l'cercle ombrejat està en el punt vermell, mentre que el centre de la circumferència blanca és el punt verd.
b) Repetiu l'apartat anterior per a la regió ombrejada.
Cercles per a l'exercici 2. Font: F. Zapata.
solució
a) El radi de la circumferència blanca és de 3 cm, per tant apliquem les mateixes equacions que en l'exercici 1:
b) Per al cercle ombrejat, el radi és de 6 cm, el seu perímetre és el doble de què es va calcular en l'apartat a):
I finalment l'àrea de la regió ombrejada es calcula de la següent manera:
- Primer es troba l'àrea de l'cercle ombrejat com si estigués complet, a la qual anomenarem A ', així:
- Exercici 3
Trobar l'àrea i el perímetre de la regió ombrejada en la següent figura:
Figura per a l'exercici 3. Font: F. Zapata.
solució
Càlcul de l'àrea de la regió ombrejada
Calculem primer l'àrea de sector circular o falca, comprès entre els segments rectes OA i OB i el segment circular AB, com es mostra en la següent figura:
Per a això s'empra la següent equació, que ens dóna l'àrea d'un sector circular, coneixent el radi R i el angle central comprès entre els segments OA i OB, és a dir, dos dels radis de la circumferència:
On αº és l'angle central -és central perquè el seu vèrtex és el centre de la circunferencia- comprès entre dos radis.
Pas 1: càlcul de l'àrea de sector circular
D'aquesta manera, l'àrea de sector mostrat a la figura és:
Pas 2: càlcul de l'àrea de el triangle
Seguidament calcularem l'àrea de el triangle blanc de la figura 3. Aquest triangle és equilàter i la seva àrea és:
L'altura és la línia vermella puntejada que es veu a la figura 4. Per trobar-la es pot fer servir el teorema de Pitàgores, per exemple. Però no és l'única manera.
El lector observador haurà notat que el triangle equilàter queda dividit en dos triangles rectangles idèntics, la base és 4 cm:
En un triangle rectangle es compleix el teorema de Pitàgores, per tant:
Pas 3: càlcul de l'àrea ombrejada
Només cal restar l'àrea gran (la de el sector circular) de l'àrea menor (la de el triangle equilàter): A regió ombrejada = 33.51 cm 2 - 27.71 cm 2 = 5.80 cm 2.
Càlcul de l'perímetre de la regió ombrejada
El perímetre buscat és la suma de la banda rectilini de 8 cm i l'arc de circumferència AB. Ara bé, la circumferència completa subtendeix 360º, per tant un arc que subtiende 60º és una sisena part de la longitud completa, la qual sabem que és 2.π.R:
Substituir, el perímetre de la regió ombrejada és:
aplicacions
El perímetre, a l'igual que l'àrea, és un concepte molt important en la geometria i amb moltes aplicacions a la vida diària.
Artistes, dissenyadors, arquitectes, enginyers i moltes altres persones fan ús de l'perímetre mentre desenvolupen la seva feina, sobretot el d'un cercle, ja que la forma rodona està per tot arreu: des de la publicitat, passant pels aliments fins a les maquinàries.
La circumferència i el cercle es troben entre les geometries més utilitzades. Font: Pixabay.
Per conèixer directament la longitud d'una circumferència n'hi ha prou amb embolicar amb un fil o cordill, després estendre aquest fil i mesurar-lo amb una cinta mètrica. L'altra alternativa és mesurar el radi o el diàmetre de l'cercle i emprar alguna de les fórmules descrites a dalt.
En el quefer diari s'utilitza el concepte de perímetre quan:
-Es tria el motlle adequat per a una certa grandària de pizza o pastís.
-Va a dissenyar una via urbana, a l'calcular la mida d'una redoma on els cotxes poden girar per canviar de sentit.
-Coneixem que la Terra gira al voltant de el Sol en una òrbita aproximadament circular -en realitat les òrbites planetàries són el·líptiques, segons les lleis de Kepler, però la circumferència és una molt bona aproximació per a la majoria dels planetes.
-Es tria la mida apropiat d'un anell o anell que es va a comprar en una botiga en línia.
-Escogemos una clau de la mida adequada per afluixar una femella.
I moltíssimes més.
referències
- Free Mathematics Tutorials. Àrea and Perimeter of a Circle - Geometry Calculator. Recuperat de: analyzemath.com.
- Math Open Reference. Circumference, Perimeter of a circle. Recuperat de: mathopenref.com.
- Monterey Institute. Perímetre i àrea. Recuperat de: montereyinstitute.org.
- Sciencing. How to find the Perimeter of a Circle. Recuperat de: sciencing.com.
- Wikipedia. Circumference. Recuperat de: en.wikipedia.org.