PARAL·LELEPÍPEDE: CARACTERÍSTIQUES, TIPUS, ÀREA, VOLUM - MATEMÀTIQUES - 2026

Un paral·lelepípede és un cos geomètric format per sis cares, la característica principal és que totes les seves cares són paral·lelograms i més les seves cares oposades són paral·leles entre si. Es tracta d'un poliedre comú en la nostra vida quotidiana, ja que el podem trobar en les caixes de sabates, la forma d'un maó, la forma d'un microones, etc.

Sent un poliedre, el paral tanca un volum finit i totes les seves cares són planes. Forma part de el grup dels prismes, que són aquells poliedres en què tots els seus vèrtexs estan continguts en dos plans paral·lels.

Elements de l'Paral·lelepípede

cares

Són cadascuna de les regions formades per paral·lelograms que limiten a l'paral. Un paral·lelepípede posseeix sis cares, on cada cara té quatre cares adjacents i una oposada. A més, cada cara és paral·lela amb la seva oposada.

arestes

Són el costat comú de dues cares. En total un paral posseeix dotze arestes.

Vértice

És el punt en comú de tres cares que són adjacents entre si dos a dos. Un paral·lelepípede té vuit vèrtexs.

Diagonal

Donada dues cares d'un paral·lelepípede oposades entre si, podem traçar un segment de recta que va des del vèrtex d'una cara cap al vèrtex oposat de l'altra.

Aquest segment es coneix com la diagonal d'el paral. Cada paral posseeix quatre diagonals.

centre

És el punt en el qual s'intersecten totes les diagonals.

Característiques de l'Paral·lelepípede

Com ja hem esmentat, aquest cos geomètric posseeix dotze arestes, sis cares-vuit vèrtexs.

En un paral poden identificar tres conjunts formats per quatre arestes, les quals són paral·leles entre si. A més, les arestes d'aquests conjunts també compleixen amb la propietat de posseir la mateixa longitud.

Una altra propietat que posseeixen els paral·lelepípedes és que són convexos, és a dir si prenem un parell de punts qualssevol pertanyents a l'interior de l'paral·lelepípede, el segment determinat per aquest parell de punts també estarà a l'interior de l'paral.

A més, els paral·lelepípedes a l'ésser políedres convexos compleixen amb el teorema d'Euler per políedres, el qual ens dóna una relació entre el nombre de cares, nombre d'arestes i el nombre de vèrtexs. Aquesta relació està donada en forma de la següent equació:

C + V = A + 2

Aquesta característica es coneix com a característica i Euler.

On C és el nombre de cares, V el nombre de vèrtexs i A el nombre d'arestes.

tipus

Podem classificar els paral·lelepípedes basant-nos en les seves cares, en els següents tipus:

ortoedre

Són els paral·lelepípedes on les seves cares estan formades per sis rectangles. Cada rectangle és perpendicular amb aquells que comparteix aresta. Són els més comuns en la nostra vida quotidiana sent aquesta la forma habitual de les caixes de sabates i maons.

Cub o hexàedre regular

Aquest és un cas particular de l'anterior, on cadascuna de les cares és un quadrat.

El cub també és part dels cossos geomètrics anomenats sòlids platònics. Un sòlid platònic és un políedre convex, de manera que tant les seves cares com els seus angles interns són iguals entre si.

romboedro

És un paral·lelepípede que té per cara rombes. Aquests rombes són tots iguals entre si, ja que comparteixen arestes.

Romboiedro

Els seus sis cares són romboides. Recordem que un romboide és un polígon de quatre costats i quatre angles que són iguals dos a dos. Els romboides són els paral·lelograms que no són ni quadrats, ni rectangles, ni rombes.

D'altra banda, els Paral·lelepípedes Oblics són aquells en els quals a el menys una alçada no concorda amb la seva aresta. En aquesta classificació podem incloure als romboedros i romboiedros.

Càlcul de diagonals

Per calcular la diagonal d'un ortoedre podem usar el teorema de Pitàgores per a R ³.

Recordem que un ortoedre té la característica que cada costat és perpendicular amb els costats que comparteix aresta. D'aquest fet podem deduir que cada aresta és perpendicular amb aquelles que comparteix vèrtex.

Per calcular la longitud d'una diagonal d'un ortoedre procedim de la següent manera:

1. Calculem la diagonal d'una de les cares, la qual posarem per base. Per això fem servir el teorema de Pitàgores. Nomenem a aquesta diagonal d _b.

2. Després amb d _b podem formar un nou triangle rectangle, tal que la hipotenusa d'aquest triangle sigui la diagonal D buscada.

3. Fem servir de nou el teorema de Pitàgores i tenim que la longitud d'aquesta diagonal és:

Una altra forma de calcular diagonals d'una manera més gràfica és amb la suma de vectors lliures.

Recordem que dos vectors lliures A i B se sumen col·locant la cua de el vector B amb punta de el vector A.

El vector (A + B) és aquell que comença a la cua de A i acaba a la punta de B.

Considerem un paral·lelepípede a què volem calcular una diagonal.

Identifiquem les arestes amb vectors orientats de manera convenient.

Després vam sumar aquests vectors i el vector resultant serà la diagonal d'el paral.

àrea

L'àrea d'un paral·lelepípede ve donada per la suma de cadascuna de les àrees de les seves cares.

Si determinem un dels costats com la base, A _L + 2A _B = Àrea Total

On A _L és igual a la suma de les àrees de tots els costats adjacents a la base, anomenada àrea lateral i A _B és l'àrea de la base.

Depenent de l'tipus de paral·lelepípede amb el qual estiguem treballant podem reescriure aquesta fórmula.

Àrea d'un ortoedre

Ve donada per la fórmula

A = 2 (ab + bc + ca).

exemple 1

Donat el següent ortoedre, amb costats a = 6 cm, b = 8 cm ic = 10 cm, calcular l'àrea d'el paral·lelepípede i la longitud de la seva diagonal.

Usant la fórmula per l'àrea d'un ortoedre hem de

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Noti que com és un ortoedre la longitud de qualsevol dels seus quatre diagonals és la mateixa.

Usant el teorema de Pitàgores per a l'espai hem de

D = (6 ² +8 ² +10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Àrea d'un cub

Com cada aresta té la mateixa longitud, tenim que a = bia = c. Substituint a la fórmula anterior tenim

A = 2 (a + a + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

exemple 2

La caixa d'una consola de jocs posseeix la forma d'un cub. Si volem embolicar aquesta caixa amb paper per a regals, quant paper gastaríem sabent que la longitud de les arestes de la galleda són 45 cm?

Usant la fórmula d'l'àrea de la galleda obtenim que

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Àrea d'un romboedro

Com totes les seves cares són iguals, només cal calcular l'àrea d'una d'elles i multiplicar per sis.

Hem de l'àrea d'un rombe la podem calcular mitjançant les seves diagonals amb la fórmula

A _R = (Dd) / 2

Usant aquesta fórmula es dedueix que l'àrea total de l'romboedro és

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

exemple 3

Les cares de el següent romboedro estan formades per un rombe les diagonals són D = 7 cm i d = 4 cm. La seva àrea serà

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Àrea d'un romboiedro

Per calcular l'àrea d'un romboiedro hem de calcular l'àrea dels romboides que el componen. Com els paral·lelepípedes compleixen amb la propietat que els costats oposats posseeixen la mateixa àrea, podem associar els costats en tres parells.

D'aquesta manera tenim que la seva àrea serà

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

On els b _i són les bases associades als costats i els h _i la seva alçada relativa corresponent a aquestes bases.

exemple 4

Considereu el paral,

on el costat A i el costat A '(el seu costat oposat) tenen per base b = 10 i per altura h = 6. L'àrea marcada tindrà un valor de

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

El B i B 'tenen b = 4 i h = 6, llavors

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

IC i C 'tenen b = 10 ih = 5, així

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Finalment l'àrea de l'romboiedro és

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volum d'un paral·lelepípede

La fórmula que ens dóna el volum d'un paral·lelepípede és el producte de l'àrea d'una de les seves cares per l'altura corresponent a aquesta cara.

V = A _C h _C

Depenent de l'tipus de paral aquesta fórmula pot ser simplificada.

Així tenim per exemple que el volum d'un ortoedre vindria donada per

V = abc.

On a, bic representi la longitud de les arestes de l'ortoedre.

I en el cas particular de la galleda és

V = a ³

exemple 1

Es tenen tres models diferents per a caixes de galetes i es desitja saber en qual d'aquests models es poden guardes més galetes, és a dir quina de les caixes té major volum.

El primer és un cub l'aresta posseeix una longitud de a = 10 cm

El seu volum serà V = 1000 cm ³

El segon té per arestes b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

I per tant el seu volum és de V = 765 cm ³

I la tercera té i = 9 cm, f = 9 cm ig = 13 cm

I el seu volum és de V = 1053 cm ³

Per tant, la caixa amb més volum és la tercera.

Un altre mètode per obtenir el volum d'un paral·lelepípede és recórrer a l'àlgebra vectorial. En particular, el triple producte escalar.

Una de les interpretacions geomètriques que té el triple producte escalar és la de l'volum de l'paral·lelepípede, les arestes són tres vectors que comparteixen un mateix vèrtex com a punt de partida.

D'aquesta manera si tenim un paral·lelepípede i desitgem saber quin és el seu volum, només cal representar-ho en un sistema de coordenades en R ³ fent coincidir un dels seus vèrtexs amb l'origen.

Després representem les arestes que concorren en l'origen amb vectors com es mostra a la figura.

I d'aquesta manera tenim que el volum d'aquest paral·lelepípede ve donat per

V = - AxB ∙ C-

O de manera equivalent el volum és el determinant de la matriu 3 × 3, formada pels components dels vectors aresta.

exemple 2

A l'representar el següent paral en R ³ podem observar que els vectors que el determinen són els següents

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) i w = (-0.25, -4, 4)

Usant el triple producte escalar tenim

V = - (UxV) ∙ w-

UxV = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(UxV) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

D'això concloem que V = 60

Considerem ara el següent paral a R3 les arestes vénen determinades pels vectors

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)

Usant determinants ens dóna que

Així tenim que el volum d'aquest paral·lelepípede és de 112.

Les dues són maneres equivalents de calcular el volum.

paral·lelepípede perfecte

Se li coneix com maó d'Euler (o bloc d'Euler) a un ortoedre que compleixi la propietat que tant la longitud de les seves arestes com la longitud de les diagonals de cadascuna de les seves cares són nombres enters.

Si bé Euler no va ser el primer científic en estudiar als ortoedres que compleixen aquesta propietat, si va trobar resultats interessants sobre ells.

El maó d'Euler més petit va ser descobert per Paul Halcke i les longituds de les seves arestes són a = 44, b = 117 ic = 240.

Un problema obert en la teoria de nombres és el següent

Existeixen ortoedres perfectes?

En l'actualitat, a aquesta pregunta no se l'ha pogut donar resposta, ja que no s'ha pogut demostrar que no hi hagi aquests cossos, però tampoc s'ha trobat algun.

El que s'ha pogut demostrar fins ara és que els paral·lelepípedes perfectes si existeixen. El primer a ser descobert té com a longitud de les seves arestes dels valors 103, 106 i 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Unsolved problems in number theory. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progrés.
3. Leithold, L. (1992). EL CÀLCUL amb Geometria Analítica. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Dibuix tècnic: Quadern d'activitats 2 mar Batxillerat. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Física Vol. 1. Mèxic: Continental.