PARABOLOIDE HIPERBÒLIC: DEFINICIÓ, PROPIETATS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Un paraboloide hiperbòlic és una superfície la equació general en coordenades cartesianes (x, i, z) compleix la següent equació:

(x / a) ² - (i / b) ² - z = 0.

La denominació "paraboloide" prové de el fet que la variable z depèn dels quadrats de les variables xi y. Mentre que l'adjectiu "hiperbòlic" es deu al fet que a valors fixos de z es té l'equació d'una hipèrbola. La forma d'aquesta superfície és similar a la d'una cadira de muntar a cavall.

Figura 1. Paraboloide hiperbòlic z = x ² - i ². Font: F. Zapata mitjançant Wolfram Mathematica.

Descripció de l'paraboloide hiperbòlic

Per entendre la naturalesa de l'paraboloide hiperbòlic es farà la següent anàlisi:

1.- Es prendrà el cas particular a = 1, b = 1, és a dir que l'equació cartesiana de l'paraboloide queda com z = x ² - i ².

2.- Es consideren plans paral·lels al plànol ZX, és a dir i = ctte.

3.- Amb i = ctte queda z = x ² - C, la qual cosa representen paràboles amb les branques cap amunt i vèrtex per sota el pla XY.

Figura 2. Família de corbes z = x ² - C. Font: F. Zapata mitjançant Geogebra.

4.- Amb x = ctte queda z = C - i ², la qual cosa representen paràboles amb les branques cap avall i vèrtex per sobre de el pla XY.

Figura 3. Família de corbes z = C - i ². Font: F. Zapata mitjançant Geogebra.

5.- Amb z = ctte queda C = x ² - i ², la qual cosa representen hipèrboles en plans paral·lels a el pla XY. Quan C = 0 es tenen dues rectes (a + 45º i -45º respecte de l'eix X) que es intercepten a l'origen sobre el pla XY.

Figura 4. Família de corbes x ² - i ² = C. Font: F. Zapata mitjançant Geogebra..

Propietats de l'paraboloide hiperbòlic

1.- Quatre punts diferents en l'espai tridimensional defineixen un i només un paraboloide hiperbòlic.

2.- El paraboloide hiperbòlic és una superfície doblement reglada. Això vol dir que tot i ser una superfície corbada, per cada punt d'un paraboloide hiperbòlic passen dues rectes diferents que pertanyen totalment a l'paraboloide hiperbòlic. L'altra superfície que no és un pla i és doblement reglada és l'hiperboloide de revolució.

És precisament la segona propietat de l'paraboloide hiperbòlic la que ha permès un ampli ús de la mateixa en arquitectura ja que la superfície pot generar-se a partir de bigues o cordes rectes.

La segona propietat de l'paraboloide hiperbòlic permet una definició alternativa de el mateix: és la superfície que pot ser generada mitjançant una línia recta mòbil paral·lela a un pla fix i talla dues línies fixes que li serveixen de guia. La següent figura aclareix aquesta definició altern de l'paraboloide hiperbòlic:

Figura 5. El paraboloide hiperbòlic és una superfície doblement reglada. Font: F. Zapata.

exemples resolts

- Exemple 1

Demostrar que l'equació: z = xy, correspon a un paraboloide hiperbòlic.

solució

S'aplicarà una transformació en les variables x i y corresponent a una rotació dels eixos cartesians respecte de l'eix Z de + 45º. Les velles coordenades xiy es transformen a les noves x 'i y' segons les següents relacions:

x = x '- i'

i = x '+ i'

mentre la coordenada z roman igual, és a dir z = z '.

A l'substituir en l'equació z = xi ens queda:

z '= (x' - i ') (x' + i ')

A l'aplicar el producte notable de la diferència per la suma igual a la diferència de quadrats es té:

z '= x' ² - i ' ²

que clarament correspon a la definició donada inicialment de paraboloide hiperbòlic.

La intercepció dels plans paral·lels a l'eix XY amb el paraboloide hiperbòlic z = xy determinen hipèrboles equilàteres que tenen com asímptotes els plànols x = 0 iy = 0.

- Exemple 2

Determinar els paràmetres a i b de l'paraboloide hiperbòlic que passa pels punts A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) i D (2, -1, 32/9).

solució

D'acord a les seves propietats, quatre punts en l'espai tridimensional determinen un únic paraboloide hiperbòlic. L'equació general és:

z = (x / a) ² - (i / b) ²

Substituïm els valors donats:

Per al punt A es té 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², equació que es satisfà qualsevol siguin els valors dels paràmetres a i b.

Substituint el punt B s'obté:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Mentre que per al punt C queda:

32/9 = 4 / a ² - trobades 1 / b ²

Finalment, per al punt D s'obté:

32/9 = 4 / a ² - trobades 1 / b ²

Que és idèntica a l'equació anterior. En definitiva s'ha de resoldre el sistema d'equacions:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - trobades 1 / b ²

Restant la segona equació de la primera s'obté:

27/9 = 3 / a ² el que implica que a ² = 1.

En forma similar es resta la segona equació de l'quàdruple de la primera, obtenint-:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Que es simplifica com:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

En definitiva el paraboloide hiperbòlic que passa pels punts A, B, C i D donats té equació cartesiana donada per:

z = x ² - (4/9) i ²

- Exemple 3

D'acord a les propietats de l'paraboloide hiperbòlic, per cada punt de la mateixa passen dues rectes que estan completament contingudes en ell. Per al cas z = x ^ 2 - i ^ 2 trobi l'equació de les dues rectes que passen pel punt P (0, 1, -1) clarament pertanyent a el paraboloide hiperbòlic, tal que tots els punts d'aquestes rectes també pertanyin a l' mateix.

solució

Usant el producte notable de la diferència de quadrats l'equació de l'paraboloide hiperbòlic pot ser escrita així:

(X + i) (x - i) = cz (1 / c)

On c és una constant no nul·la.

L'equació x + i = cz, i l'equació x - y = 1 / c corresponen a dos plans amb vectors normals n = <1,1, -c> i m = <1, -1,0>. El producte vectorial mxn = <- c, -c, -2> ens dóna la direcció de la recta intersecció dels dos plans. Llavors una de les rectes que passa pel punt P i pertany a l'paraboloide hiperbòlic té equació paramètrica:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Per determinar c substituïm el punt P en l'equació x + i = cz, obtenint:

c = -1

En forma similar, però considerant les equacions (x - i = kz) i (x + i = 1 / k) es té l'equació paramètrica de la recta:

= <0, 1, -1> + s amb k = 1.

En resum, les dues rectes:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> i = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Estan completament contingudes en el paraboloide hiperbòlic z = x ² - i ² passant pel punt (0, 1, -1).

Com comprovació suposem t = 1 el que ens dóna el punt (1,2, -3) sobre la primera recta. Cal comprovar si també està sobre el paraboloide z = x ² - i ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

El que confirma que en efecte, pertany a la superfície de l'paraboloide hiperbòlic.

El paraboloide hiperbòlic en arquitectura

Figura 6. Oceanogràfic de València (Espanya).Fuente: Wikimedia Commons.

El paraboloide hiperbòlic ha estat usat en Arquitectura per als grans arquitectes d'avantguarda, entre els quals destaquen els noms de l'arquitecte espanyol Antoni Gaudí (1852-1926) i molt particularment el també espanyol Félix Candela (1910-1997).

A continuació es mostren algunes obres basades en el paraboloide hiperbòlic:

-Capella de la ciutat de Cuernavaca (Mèxic) obra de l'arquitecte Félix Candela.

-El oceanogràfic de València (Espanya), també de Félix Candela.

referències

1. Encyclopedia of mathematics. Ruled Surface. Recuperat de: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloide hiperbòlic. Recuperat de: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. «Hyperbolic Paraboloid.» From MathWorld-A Wolfram Web Resource. Recuperat de: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Recuperat de: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloide. Recuperat de: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Ruled surface. Recuperat de: en.wikipedia.com