PAPOMUDAS: COM RESOLDRE'LS I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

El papomudas és un procediment de resolució d'expressions algebraiques. Les seves sigles indiquen l'ordre de prioritat de les operacions: parèntesis, potències, multiplicació, divisió, addició i sostracció. Usant aquesta paraula es pot recordar fàcilment l'ordre en el qual s'ha de resoldre una expressió composta per diverses operacions.

Generalment, en les expressions numèriques es poden trobar diverses operacions aritmètiques juntes, com sumes, restes, multiplicacions i divisions, que a més poden ser de fraccions, potències i arrels. Per resoldre-es fa necessari seguir un procediment que garanteix que els resultats estaran correctes.

Una expressió aritmètica que es compon d'una combinació d'aquestes operacions s'ha de resoldre segons la prioritat d'ordre, també coneguda com jerarquia de les operacions, establerta fa molt de temps a convencions universals. Així, totes les persones poden seguir el mateix procediment i obtenir el mateix resultat.

Característiques

El papomudas és procediment estàndard que estableix quin és l'ordre que ha de ser seguit quan s'ha de donar solució a una expressió, que està composta per una combinació d'operacions com a suma resta, multiplicació i divisió.

Amb aquest procediment s'estableix l'ordre de prioritat d'una operació amb relació a les altres en el moment en què seran resultes; és a dir, cada operació té un torn o nivell jeràrquic per ser resolta.

L'ordre en què s'han de resoldre les diferents operacions d'una expressió és donat per cada sigla de la paraula papomudas. D'aquesta forma, s'ha de:

1- Pa: parèntesis, claudàtors o claus.

2- Po: potències i arrels.

3- Mu: multiplicacions.

4- D: divisions.

5- A: addicions o sumes.

6- S: sostraccions o restes.

Aquest procediment també és anomenat en anglès com PEMDAS; per recordar fàcilment aquesta paraula és associada a la frase: "Please Excuse My Dear Aunt Sally", on cada lletra inicial correspon a una operació aritmètica, de la mateixa manera que l'papomudas.

Com resoldre'ls?

Basat en la jerarquia que estableix el papomudas per resoldre les operacions d'una expressió, cal complir el següent ordre:

- Primer s'han de resoldre totes les operacions que estiguin dins de símbols d'agrupació, com parèntesi, claus, claudàtors i barres de fracció. Quan hi símbols d'agrupació dins d'altres, s'ha de començar a calcular de dins cap a fora.

Aquests símbols són usats per canviar l'ordre en què es resolen les operacions, perquè sempre s'ha de resoldre primer el que estigui dins d'aquests.

- Després es resolen les potències i les arrels.

- En tercer lloc es resolen les multiplicacions i divisions. Aquestes tenen el mateix ordre de prioritat; per això, quan en una expressió es trobin aquestes dues operacions, s'ha de resoldre la que aparegui primer, llegint l'expressió d'esquerra a dreta.

- En darrer lloc es resolen les sumes i restes, que també tenen un mateix ordre de prioritat i, per tant, és resolta la que aparegui primer en l'expressió, llegida d'esquerra a dreta.

- Mai s'han de barrejar les operacions a l'ésser llegides d'esquerra a dreta, sempre s'ha de seguir l'ordre de prioritat o jerarquia establert pel papomudas.

És important recordar que el resultat de cada operació s'ha de col·locar en el mateix ordre en relació amb els altres, i tots els passos intermedis han d'estar separats per un signe fins arribar a el resultat final.

aplicació

El procediment papomudas és usat quan es té una combinació de diferents operacions. Tenint en compte com es resolen, aquest pot ser aplicat en:

Expressions que contenen sumes i restes

És una de les operacions més simples, perquè totes dues tenen el mateix ordre de prioritat, de manera que s'ha de resoldre començant des de l'esquerra cap a la dreta en l'expressió; per exemple:

22 -15 + 8 + 6 = 21.

Expressions que contenen sumes, restes i multiplicacions

En aquest cas l'operació de major prioritat és la multiplicació, després es resolen les sumes i restes (la qual aquest primer a l'expressió). Per exemple:

6 _* 4 - 10 + 8 _* 6-16 +10 _* 6

= 24 -10 + 48-16 + 60

= 106.

Expressions que contenen suma, resta multiplicació i divisió

En aquest cas es té una combinació de totes les operacions. Es comença per resoldre la multiplicació i divisió que tenen prioritat superior, després les sumes i restes. Llegint l'expressió d'esquerra a dreta, es resol segons la seva jerarquia i posició dins de l'expressió; per exemple:

7 +10 _* 13-8 + 40 ÷ 2

= 7 + 130-8 + 20

= 149.

Expressions que contenen suma, resta, multiplicació, divisió i potències

En aquest cas un dels nombres es troba elevat a una potència, que d'aquí a el nivell de prioritat ha de ser resolta primer, per després resoldre les multiplicacions i divisions, i finalment les sumes i restes:

4 + 4 ² _* 12 - 5 + 90 ÷ 3

= 4 + 16 _* 12 - 5 + 90 ÷ 3

= 4 + 192-5 + 30

= 221.

A l'igual que les potències, les arrels també tenen el segon ordre de prioritat; per això, en expressions que les continguin s'han de resoldre primer que les multiplicacions, divisions, sumes i restes:

5 _* 8 + 20 ÷ √16

= 5 _* 8 + 20 ÷ 4

= 40 + 5

= 45.

Expressions que utilitzen símbols d'agrupació

Quan són usats signes com parèntesi, claus, claudàtors i barres de fraccions, el que està dins d'aquests es resol primer, sense importar l'ordre de prioritat de les operacions que aquest contingui amb relació als que estan fora d'aquest, com si es tractés d'una expressió a part:

14 ÷ 2 - (8 - 5)

= 14 ÷ 2-3

= 7-3

= 4.

Si dins d'aquest es troben diverses operacions, aquestes s'han de resoldre per ordre jeràrquic. Després es resolen les altres operacions que componen l'expressió; per exemple:

2 + 9 * (5 + 2 ³ - 24 ÷ 6) - 1

= 2 + 9 * (5 + 8 - 4) - 1

= 2 + 9 * 9-1

= 2 + 81-1

= 82.

En algunes expressions s'utilitzen símbols d'agrupació dins d'altres, com quan és necessari canviar el signe d'una operació. En aquests casos s'ha de començar resolent de dins cap a fora; és a dir, simplificant els símbols d'agrupació que estiguin al centre d'una expressió.

Generalment, l'ordre per solucionar operacions contingudes dins d'aquests símbols és: primer resoldre el que està dins de parèntesis (), després claudàtors i finalment les claus {}.

90-3 _*

= 90-3 _*

= 90-3 _* 24

= 90-72

= 18.

exercicis

primer exercici

Trobar el valor de la següent expressió:

20 ² + √225 - 155 + 130.

solució

Aplicant el papomudas, s'han de resoldre en primer lloc les potències i arrels, i després sumes i restes. En aquest cas, les dues primeres operacions pertanyen a el mateix ordre, per això es resol la qual estigui primer, començant d'esquerra a dreta:

20 ² + √225 - 155 + 130

= 400 + 15 -155 + 130.

Després sumes i restes, començant per l'esquerra també:

400 + 15 -155 + 130

= 390.

segon exercici

Trobar el valor de la següent expressió:

solució

Es comença per resoldre les operacions que estan dins dels parèntesis, seguint l'ordre jeràrquic que aquestes posseeixen segons el papomudas.

Primer es resolen les potències del primer parèntesi, després es resolen les operacions de l'segon parèntesi. Com pertanyen a el mateix ordre, es resol la primera operació de l'expressió:

=

=

=.

Com ja van ser resoltes les operacions dins dels parèntesis, ara es continua amb la divisió que té més jerarquia que la resta:

=.

Per finalitzar, el parèntesi que separa el signe menys (-) de l'resultat, que en aquest cas és negatiu, indica que s'ha de fer una multiplicació d'aquests signes. Així, el resultat de l'expressió és:

= 171.

tercer exercici

Trobar el valor de la següent expressió:

solució

Es comença resolent les fraccions que estan dins de l'parèntesi:

Dins el parèntesi es tenen diverses operacions. Es resolen primer les multiplicacions i després les restes; en aquest cas la barra de la fracció és considerada com un símbol d'agrupació i no com una divisió, per això s'han de resoldre les operacions de la part superior i inferior:

Per ordre jeràrquic, ha de ser resolta la multiplicació:

Per finalitzar, es resol la sostracció:

referències

1. Aguirre, HM (2012). Matemàtiques financeres. Cengage Learning.
2. Aponte, G. (1998). Fonaments De Matemàtiques Basica. Pearson Educació.
3. Cabanne, N. (2007). Didàctica de les matemàtiques.
4. Carolina Espinosa, CC (2012). Recursos en l'aprenentatge de les operacions.
5. HUFFSTETLER, K. (2016). The Story of the Order of Operations: Pemdas. Create Space Independent.
6. Madore, B. (2009). GRE Math Workbook. Barron 's Educational Series,.
7. Molina, FA (sf). Projecte Azarquiel, Matemàtiques: Primer cicle. Grup Azarquiel.