- Parts de l'ortoedre
- Fórmules de l'ortoedre
- àrea
- volum
- Diagonal interna
- exemples
- - Exemple 1
- solució a
- solució b
- solució c
- solució d
- - Exercici 2
- solució
- referències
El ortoedre és una figura geomètrica volumètrica o tridimensional que es caracteritza per tenir sis cares rectangulars, de manera que les cares oposades estan en plans paral·lels i són rectangles idèntics o congruents entre si. D'altra banda, les cares adjacents a una cara donada estan en plans perpendiculars a el de la cara inicial.
També pot considerar-se a l'ortoedre com un prisma ortogonal de base rectangular, en el qual els angles diedres formats pels plans de dues cares adjacents a una aresta comuna, mesuren 90º. L'angle díedre entre dues cares es mesura sobre la intersecció de les cares amb un pla perpendicular i comú a les mateixes.
Figura 1. Ortoedre. Font: F. Zapata amb Geogebra.
Així mateix, el ortoedre és un paral·lelepípede rectangle, ja que així es defineix a l'paral·lelepípede com la figura volumètrica de sis cares, les quals són paral·leles dos a dos.
En un paral·lelepípede qualsevol la cares són paral·lelograms, però en el paral·lelepípede rectangle les cares han de ser rectangulars.
Parts de l'ortoedre
Les parts d'un poliedre, com el ortoedre, són:
-Aristas
-Vértices
-Caras
L'angle entre dues arestes d'una cara de l'ortoedre coincideix amb l'angle diedre format pels seus altres dues cares adjacents a cadascuna de les arestes, formant angle recte. La següent imatge aclareix cada concepte:
Figura 2. Parts d'un ortoedre. Font: F. Zapata amb Geogebra.
-En total un ortoedre té 6 cares, 12 arestes i 8 vèrtexs.
-El angle entre dues arestes qualsevol és un angle recte.
-El angle diedre entre dues cares qualssevol també és recte.
-En cada cara hi ha quatre vèrtexs i en cada vèrtex concorren tres cares mútuament ortogonals.
Fórmules de l'ortoedre
àrea
La superfície o àrea d'un ortoedre és la suma de les àrees de les seves cares.
Si les tres arestes que concorren en un vèrtex tenen mesures a, bic, tal com es mostra a la figura 3, llavors la cara frontal té àrea c⋅by la cara de el fons també té àrea c⋅b.
Després, les dues cares laterals tenen àrea a⋅b cadascuna. I finalment, les cares de pis i de l'sostre tenen àrea a⋅c cadascuna.
Figura 3. Ortoedre de dimensions a, b, c. Diagonal interna D i diagonal externa d.
Sumant l'àrea de totes les cares s'obté:
Traient factor comú i ordenant els termes:
volum
Si es pensa a l'ortoedre com un prisma, llavors el seu volum es calcula així:
En aquest cas es pren com a base rectangular al pis de dimensions cia, llavors l'àrea de la base és c⋅a.
L'alçada ve donada per la longitud b de les arestes ortogonals a les cares de costats aic.
Multiplicant l'àrea de la base (a⋅c) per l'altura b es té el volum V d'l'ortoedre:
Diagonal interna
En un ortoedre hi ha dues classes de diagonals: les diagonals externes i les diagonals internes.
Les diagonals externes estan sobre les cares rectangulars, mentre que les diagonals internes són els segments que uneixen dos vèrtexs oposats, entenent-se per vèrtexs oposats als que no comparteixen cap aresta.
En un ortoedre hi ha quatre diagonals internes, totes de la mateixa mida. La longitud de les diagonals internes es pot obtenir d'aplicar el teorema de Pitàgores per triangles rectangles.
La longitud d de la diagonal externa de la cara de el pis de l'ortoedre compleix la relació pitagòrica:
d 2 = a 2 + c 2
Similarment, la diagonal interior de mesura D compleix la relació pitagòrica:
D 2 = d 2 + b 2.
Combinant les dues expressions anteriors es té:
D 2 = a 2 + c 2 + b 2.
Finalment la longitud de qualsevol de les diagonals internes de l'ortoedre està donada per la següent fórmula:
D = √ (a 2 + b 2 + c 2).
exemples
- Exemple 1
Un paleta construeix un tanc en forma d'ortoedre les dimensions internes són: 6 mx 4 m de base i 2 m d'alçada. Es demana:
a) Determinar la superfície interior de l'tanc si el mateix està completament obert a la part superior.
b) Calcular el volum d'l'espai interior de l'tanc.
c) Trobar la longitud d'una diagonal interior.
d) Quina és la capacitat de l'tanc en litres?
solució a
Prendrem les dimensions de la base rectangular a = 4 myc = 6 mi l'altura com b = 2 m
L'àrea d'un ortoedre amb les dimensions donades està donada per la següent relació:
A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m +6 m⋅4 m)
És a dir:
A = 2⋅ (8 m 2 + 12 m 2 + 24 m 2) = 2⋅ (44 m 2) = 88 m 2
El resultat anterior és l'àrea de l'ortoedre tancat amb les dimensions donades, però com es tracta d'un tanc completament descobert a la part superior, per obtenir la superfície de les parets interiors de l'tanc ha de restar l'àrea de la tapa que falta que és:
c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m 2.
Finalment, la superfície interior de l'tanc serà: S = 88 m 2 - 24 m 2 = 64 m 2.
solució b
El volum interior de l'tanc ve donat pel volum d'un ortoedre de les dimensions interiors de l'tanc:
V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m 3.
solució c
La diagonal interior d'un octaedre amb les dimensions de l'interior de l'tanc té una longitud D donada per:
√ (a 2 + b 2 + c 2) = √ ((4 m) 2 + (2 m) 2 + (6 m) 2)
Fer les operacions indicades ens queda:
D = √ (16 m 2 + 4 m 2 + 36 m 2) = √ (56 m 2) = 2√ (14) m = 7,48 m.
solució d
Per calcular la capacitat de l'tanc en litres, cal saber que el volum d'un decímetre cúbic equival a la capacitat d'un litre. Prèviament s'havia calculat en volum en metres cúbics, però ha de transformar-se a decímetres cúbics i després a litres:
V = 48 m 3 = 48 (10 dm) 3 = 4.800 dm 3 = 4.800 L
- Exercici 2
Un aquari de vidre té forma cúbica de 25 cm de costat. Determinar l'àrea en m 2, el volum en litres i la longitud d'una diagonal interior en cm.
Figura 4. Aquari de vidre de forma cúbica.
solució
L'àrea es calcula mitjançant la mateixa fórmula de l'ortoedre, però tenint en compte que totes les dimensions són idèntiques:
A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a 2 = 6⋅ (25 cm) 2 = 1.250 cm 2
El volum de la galleda està donat per:
V = a 3 = (25 cm) 3 = 15.625 cm 3 = 15.625 (0,1 dm) 3 = 15,625 dm 3 = 15,625 L.
La longitud D de la diagonal interior és:
D = √ (3a 2) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.
referències
- Arias J. GeoGebra: Prisma. Recuperat de: youtube.com.
- Cálculo.cc. Exercicis i problemes resolts d'àrees i volums. Recuperat de: calculo.cc.
- Salvador R. Piràmide + ortoedre amb GeoGebra (IHM). Recuperat de: youtube.com
- Weisstein, Eric. "Ortoedre". MathWorld. Wolfram Research.
- Wikipedia. Ortoedre. Recuperat de: es.wikipedia.com