NOTACIÓ DESENVOLUPADA: QUÈ ÉS, EXEMPLES I EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

La notació desenvolupada és aquella en la qual una xifra numèrica s'expressa com una suma en la qual es té en compte el valor posicional de cada dígit que conforma el número.

Per exemple, quan s'escriu una xifra com 2345 cada dígit de la mateixa té una jerarquia posicional. Llegint de l'dígit extrem dret cap a l'esquerra va creixent la jerarquia o el valor.

Figura 1. Amb nou grafemes és possible representar qualsevol xifra.

A la xifra 2345, el dígit 5 ​​representa cinc unitats, el dígit 4 representa 4 desenes, el 3 correspon a la tercera posició d'esquerra a dreta i per tant el 3 representa tres centenes, finalment el 2 representa dos milers. És a dir en notació desenvolupada o estesa la xifra 2345 s'escriu així:

2345 = 2 milers +3 centenes + 4 desenes + 5 unitats

Però també pot expressar-se de la següent manera:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

També la xifra 2345 pot escriure com la suma de potències de 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

On el circumflex ^ significa elevar a l'exponent indicat. Per exemple, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Una altra forma d'escriure dels exponents és mitjançant un superíndex:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Sistema de numeració posicional

El sistema de nombres aràbics són els números que s'usen quotidianament en la gran majoria de continents i països de l'món. Els números aràbics són un sistema de base 10 perquè es fan servir 10 símbols o grafemes per escriure qualsevol nombre. Aquests deu símbols són:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Amb un sol d'aquests símbols pot expressar xifres compreses entre zero fins a nou. Per expressar xifres majors a nou s'empra el sistema posicional en base deu. La xifra 10 és una desena i zero unitats. La xifra 11 és una desena i una unitat. La xifra 123 (cent vint-) és una centena, dues desenes i tres unitats. Escrit en forma de potències de deu el nombre 123 serà:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

on:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

Amb aquest exemple queda clar que la posició de l'dígit a l'extrem dret és la posició 0 i representa el nombre d'unitats, la de l'segon dígit de dreta a esquerra és la posició 1 i representa el nombre de desenes, el tercer dígit (de dreta a esquerra) té posició 2 i representa els centenars.

Figura 2. Notació desenvolupada de la xifra 123.

Nombres fraccionaris o decimals

Amb el sistema posicional decimal també és possible representar nombres o xifres que són menors que la unitat o que són més grans que la unitat però no senceres, és a dir que posseeixen fraccions de la unitat.

Per representar en el sistema decimal aràbic la fracció ½, és a dir la meitat de la unitat s'escriu:

½ = 0,5

Per arribar a aquesta expressió en el nostre sistema en base 10 implícitament s'han fet les següents operacions:

1- Es multiplica numerador i denominador per 5 per tenir la fracció equivalent 5/10 = 1/2.

2- Dividir entre 10 és equivalent a multiplicar per la potència en base deu amb exponent menys un (10 ^ -1), és a dir 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- L'exponent negatiu indica quantes vegades es corre o posiciona cap a la dreta el dígit indicat a partir de la posició de la unitat, en el nostre cas seria 0,5.

4- ½ = 0,5 en notació estesa s'escriu així:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

On 10 ^ -1 = 0,1 és una dècima (la fracció corresponent a la unitat dividida en 10 parts iguals).

D'aquesta manera, el nombre 0,5 correspon a cinc dècimes, però el nombre 0,05 correspon a 5 centenes i el 0,005 a 5 mil·lèsimes.

Exemples de notació desenvolupada

exemple 1

Donada la xifra 40201 en notació estàndard, convertir-la a la notació desenvolupada.

solució:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

exemple 2

Escriure la fracció ¾ en notació estesa.

solució:

En aquest cas es tenen tres quartes parts de la unitat.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

Dit en paraules quedaria així:

La fracció ¾ correspon a set dècimes més cinc centèsimes.

Exercicis de notació desenvolupada

exercici 1

Dir en paraules l'expressió desenvolupada de la xifra 40201 de l'exemple 1.

solució:

La notació desenvolupada queda així:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

Que en llenguatge de paraules es diu:

Quatre desenes de milers, més zero milers, més dos centenes, més zero desenes, més una unitat.

exercici 2

Expressar en paraules la xifra anterior i desglossar en forma desenvolupada la frase corresponent.

solució:

La xifra 40201 en paraules s'expressa així:

Quaranta mil dos-cents u

La frase anterior pot desenvolupar-se com:

40 × 1000 + 2 × 100 +1

Es pot dir que la forma de pronunciar les xifres és una forma semidesenvolupada d'expressar-la.

exercici 3

Escriure en forma desenvolupada el nombre 7/3.

solució:

Es tracta d'una xifra expressada com una fracció impròpia, ja que com el numerador és més gran que el denominador, la xifra és més gran que la unitat.

Aquesta fracció impròpia pot descompondre com la suma de les fraccions 6/3 + 1/3. La primera de les fraccions dóna com a resultat en nombre enter 2, mentre que 1/3 = 0,333333, on el dígit 3 es repeteix indefinidament. De manera que l'expressió decimal desenvolupada de la xifra 7/3 sempre serà una expressió aproximada:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

exercici 6

Escriure en notació estàndard i després en forma desenvolupada el nombre: Vint-i-mil milions 250.526.000 tres-cents vint-i- cinc amb tres vint-mil·lèsimes.

solució:

Cal recordar que un mil milions és l'equivalent a mil milions. La paraula mil milions va ser acceptada per la Real Acadèmia Espanyola en 1995 a petició de l'desaparegut president veneçolà Rafael Caldera, membre de l'Acadèmia Veneçolana de la Llengua. En aquest cas, la xifra de l'exercici en notació estàndard s'escriu així:

23.2501526.325,023

23 mil milions + 250 milions + 526 milers + 325 unitats + 23 mil·lèsimes.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Finalment s'escriu la xifra en notació desenvolupada:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

referències

1. Khan Academy. Taules de valor posicional. Recuperat de: es.khanacademy.org
2. Khan Academy. Escriure un nombre en forma desenvolupada (vídeo). Recuperat de: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Història universal de les xifres. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Notació posicional. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Mil milions. Recuperat de: es.wikipedia.com