ANGLES SUPLEMENTARIS: QUINS SÓN, CÀLCUL, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Dos o més són angles suplementaris si la suma de les seves mesures es correspon amb la mesura d'un angle pla. La mesura d'un angle pla, també anomenat angle pla, en graus és 180º i en radiants és π.

Per exemple, trobem que els tres angles interiors d'un triangle són suplementaris, ja que la suma de les seves mesures és 180º. A la figura 1 es mostren tres angles. De l'anteriorment dit es dedueix que α i β són suplementaris, ja que són adjacents i la seva suma completa un angle pla.

Figura 1: α i β són suplementaris. α i γ són suplementaris. Font: F. Zapata.

També en aquesta mateixa figura, es tenen els angles α i γ que també són suplementaris, perquè la suma de les seves mesures és igual a la mesura d'un angle pla, és a dir 180º. No es pot dir que els angles β i γ siguin suplementaris perquè a l'ésser dos angles obtusos seves mesures són majors a 90º i per tant la seva suma sobrepassa 180º.

Font: lifeder.com

En canvi pot afirmar-se que la mesura de l'angle β és igual a la mida de l'angle γ, ja que si β és suplementari de α i γ és suplementari de α, llavors β = γ = 135 º.

exemples

En els exemples següents es demana trobar els angles desconeguts, assenyalats amb interrogació a la figura 2. Van des dels exemples més senzills fins a alguns una mica més elaborats que el lector haurà de ser amb més cura.

Figura 2. Diversos exemples resolts d'angles suplementaris. Font: F. Zapata.

exemple A

A la figura tenim que els angles adjacents α i 35º sumen un angle pla. És a dir, α + 35º = 180º i per tant es compleix que: α = 180º- 35º = 145º.

exemple B

Com β és suplementari amb l'angle de 50º, llavors se segueix que β = 180º - 50º = 130º.

exemple C

De la figura 2C s'adverteix la següent suma: γ + 90º + 15º = 180º. És a dir, que γ és suplementari amb l'angle 105º = 90º + 15º. Es conclou llavors que:

γ = 180º- 105º = 75º

exemple D

Com X és suplementari amb 72º, es dedueix que X = 180º - 72º = 108º. A més I és suplementari amb X, llavors I = 180º - 108º = 72º.

I finalment Z és suplementari amb 72º, per tant Z = 180º - 72º = 108º.

exemple I

Els angles δ i 2δ són suplementaris, per tant δ + 2δ = 180º. La qual cosa vol dir que 3δ = 180º, i això al seu torn permet escriure: δ = 180º / 3 = 60º.

exemple F

Si anomenem U a l'angle que està entre el de 100º i el de 50º es té llavors que U és suplementari a ells dos, perquè s'observa que la seva suma completa un angle pla.

Immediatament es dedueix que U = 150 º. Com U és oposat pel vèrtex a W, llavors W = O = 150º.

exercicis

A continuació es proposen tres exercicis, en tots ells ha de trobar-se el valor dels angles A i B en graus, de manera que es compleixin les relacions mostrades a la figura 3. El concepte d'angles suplementaris s'empra en la resolució de tots ells.

Figura 3. Figura per resoldre els exercicis I, II i III sobre angles suplementaris. Tots els angles estan expressats en graus. Font: F. Zapata.

- Exercici I

Determineu els valors dels angles A i B de la part I) de la figura 3.

solució

A i B són suplementaris, d'on s'ha de A + B = 180 graus, llavors se substitueix l'expressió de A i de B com a funció de x, tal com apareix en la imatge:

(X + 15) + (5x + 45) = 180

S'obté una equació lineal de primer ordre. Per resoldre-la, de seguida s'agrupen els termes:

6 x + 60 = 180

Dividint els dos membres entre 6 es té:

x + 10 = 30

I finalment aclarint, es dedueix que x val 20º.

Ara s'ha de substituir el valor de x per trobar els angles comandes. D'allí s'ha de l'angle A és: A = 20 + 15 = 35 º.

I per la seva banda, l'angle B és B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Exercici II

Trobeu els valors dels angles A i B de la part II) de la figura 3.

solució

Com A i B són angles suplementaris s'ha de A + B = 180 graus. Substituint l'expressió de A i de B com a funció de x donada a la part II) de la figura 3 es té:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Novament s'obté una equació de primer grau, per a la qual cal agrupar convenientment els termes:

6 x + 60 = 180

Dividint els dos membres entre 6 es té:

x + 10 = 30

D'on es dedueix que x val 20º.

És a dir que l'angle A = -2 * 20 + 90 = 50 º. Mentre que l'angle B = 8 * 20 - 30 = 130 º.

- Exercici III

Determineu els valors dels angles A i B de la part III) de la figura 3 (en color verd).

solució

Com A i B són angles suplementaris s'ha de A + B = 180 graus. Cal substituir l'expressió de A i de B com a funció de x donada a la figura 3, de la qual cosa es té:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Dividint els dos membres entre 12 per aclarir el valor de x, es té:

x + 5 = 15

Finalment es troba que x val 10 graus.

Ara es procedeix a substituir per trobar l'angle A: A = 5 * 10 -20 = 30 º. I per a l'angle B: B = 7 * 10 + 80 = 150 º

Angles suplementaris en dues paral·leles tallades per una secant

Figura 4. Angles entre dues paral·leles tallades per una secant. Font: F. Zapata.

Dues rectes paral·leles tallades per una secant és una construcció geomètrica habitual en alguns problemes. Entre aquestes rectes es formen 8 angles tal com ho mostra la figura 4.

D'aquests 8 angles, alguns parells d'angles són suplementaris, els quals enumerem a continuació:

1. Els angles exteriors A i B, i els exteriors G i H
2. Els angles interiors D i C, i els interiors E i F
3. Els angles externs A i G, i els externs B i H
4. Els angles interns D i E, i els interns C i F

Per completesa, es nomenen també els angles iguals entre si:

1. Els alterns interns: D = F i C = E
2. Els alterns externs: A = H i B = G
3. Els corresponents: A = E i C = H
4. Els oposats pel vèrtex A = C i E = H
5. Els corresponents: B = F i D = G
6. Els oposats pel vèrtex B = D i F = G

- Exercici IV

En referència a la figura 4, en la qual mostren els angles entre dues rectes paral·leles tallades per una secant, determini el valor de tots els angles en radiants, sabent que l'angle A = π / 6 radiants.

solució

A i B són angles externs suplementaris per tant B = π - A = π - π / 6 = 5π / juny

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / juny

referències

1. Baldor, JA 1973.Geometría plana i de l'espai. Cultural centreamericana.
2. Lleis i fórmules matemàtiques. Sistemes de mesura d'angles. Recuperat de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperat de: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Angles suplementaris. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportador. Recuperat de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniòmetre: història, parts, funcionament. Recuperat de: lifeder.com