Els angles oposats pel vèrtex són els que compleixen el següent: els costats d'un d'ells són les prolongacions dels costats de l'altre angle. El teorema fonamental dels angles oposats pel vèrtex diu així: dos angles oposats pel vèrtex tenen la mateixa mida.
Moltes vegades s'abusa de l'llenguatge dient que els angles oposats pel vèrtex són iguals, cosa que no és correcte. El fet que dos angles tinguin la mateixa mesura no vol dir que siguin iguals. És com dir que dos nens que tinguin la mateixa altura són iguals.
Figura 1. Angles oposats pel vèrtex. Elaborat per: Fanny Zapata.
Recordem que un angle es defineix com la figura geomètrica composta per dues semirectes amb el mateix origen.
A la figura 1 es mostra l'angle Fog (blau) compost per la semirecta ).push ({});
Teorema dels angles oposats pel vèrtex
Original text
Formalment, el teorema s'enuncia d'aquesta manera:
Figura 4. α, β i γ són les mesures dels angles SOQ, QOR i ROP. Elaborat per: F. Zapata.
demostració
L'angle SOQ té mesura α; l'angle QOR té mesura β i l'angle ROP té mesura γ. La suma l'angle SOQ més el QOR forma l'angle pla SOR de mesura 180º.
És a dir que:
α + β = 180º
D'altra banda i fent servir el mateix raonament amb els angles QOR i ROP es té:
β + γ = 180º
Si observem les dues equacions anteriors, l'única manera que ambdues es compleixin és que α sigui igual a γ.
Com SOQ té mesura α i és oposat pel vèrtex a ROP de mesura γ, i com α = γ, es conclou que els angles oposats pel vèrtex tenen la mateixa mida.
exercici resolt
En referència a la figura 4: suposi que β = 2 α. Trobi la mesura dels angles SOQ, QOR i ROP en graus sexagesimals.
solució
Com la suma dels l'angle SOQ més el QOR forma l'angle pla SOR es té:
α + β = 180º
Però ens diuen que β = 2 α. Substituint aquest valor de β ens queda:
α + 2 α = 180º
És a dir:
3 α = 180º
El que significa que α és la tercera part de 180º:
α = (180º / 3) = 60º
Llavors la mesura de SOQ és α = 60º. La mesura de QOR és β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Finalment com ROP és oposat pel vèrtex a SOQ llavors d'acord a l'teorema ja demostrat tenen la mateixa mida. És a dir, la mesura de ROP és γ = α = 60º.
referències
- Baldor, JA 1973.Geometría plana i de l'espai. Cultural centreamericana.
- Lleis i fórmules matemàtiques. Sistemes de mesura d'angles. Recuperat de: ingemecanica.com.
- Wikipedia. Angles oposats pel vèrtex. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Transportador. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Zapata F. Goniòmetre: història, parts, funcionament. Recuperat de: lifeder.com