ANGLES CONJUGATS INTERNS I EXTERNS: EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els angles conjugats són els que a l'ésser sumats dóna com a resultat 360 °, sense importar que aquests angles siguin adjacents o no. A la figura 1 es mostren dos angles conjugats, denotats com α i β.

En aquest cas, els angles α i β de la figura tenen un vèrtex en comú i els seus costats són comuns, per tant són adjacents. La relació entre ells s'expressa de la següent manera:

α + β = 360º

Figura 1. Dos angles centrals conjugats, suma. Font: Wikimedia Commons. No machine-readable Autor provided. Thiago R Ramos assumed (based on copyright claims). Es tracta d'una classificació dels angles per la seva suma. Altres definicions importants inclouen els angles complementaris, la suma és 90 º i els angles suplementaris, que totalitzen 180 º.

D'altra banda considerem ara dues rectes paral·leles tallades per una secant, la disposició es mostra tot seguit:

Figura 2. Rectes paral·leles tallades per una secant. Font: F. Zapata.

Les rectes MN i PQ són paral·leles, mentre que la recta RS és secant, intersecció de les paral·leles en dos punts. Com es pot apreciar, aquesta configuració determina la formació de 8 angles, als quals s'ha denotat amb lletres minúscules.

Doncs bé, d'acord a la definició donada a l'començament, els angles a, b, c i són conjugats. I de la mateixa manera ho són e, f, g i h, ja que tots dos casos es compleix que:

a + b + c + d = 360º

I

e + f + g + h = 360º

Per a aquesta configuració, dos angles són conjugats si estan a un mateix costat respecte de la recta secant RS i tots dos són interns o bé externs. En el primer cas es parla d'angles conjugats interns, mentre que en el segon, són angles conjugats externs.

exemples

A la figura 2, els angles externs són aquells que estan per fora de la regió delimitada per les rectes MN i PQ, es tracta dels angles A, B, G i H. Mentre que els angles que es troben entre les dues rectes són C, D, e i F.

Ara cal analitzar quins angles estan a l'esquerra i quins a la dreta de la secant.

A l'esquerra de RS hi ha els angles A, C, E i G. I a la dreta estan B, D, F i H.

Immediatament procedim a determinar les parelles d'angles conjugats, d'acord amb la definició donada en la secció anterior:

-A i G, externs ia l'esquerra de RS.

-D i F, interns ia la dreta de RS.

-B i H, externs ia la dreta de RS.

-C i E, interns ia l'esquerra de RS.

Propietat dels angles conjugats entre rectes paral·leles

Els angles conjugats entre rectes paral·leles són suplementaris, és a dir, la seva suma és igual a 180º. D'aquesta manera, per a la figura 2 es compleix el següent:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Els parells d'angles corresponents per a les rectes paral·leles

Són aquells que es troben de la mateixa banda de la recta secant, són no adjacents i un d'ells és intern i l'altre és extern. És important visualitzar-los, ja que la seva mesura és la mateixa, perquè són angles oposats pel vèrtex.

Tornant a la figura 2, s'identifiquen els parells d'angles corresponents com:

-A i E

-C i G

-B i F

-D i H

Angles interns d'un quadrilàter

Els quadrilàters són polígons de 4 costats, entre ells destaquen el quadrat, el rectangle, el trapezi, el paral·lelogram i el rombe, per exemple. Sense importar la seva forma, en qualsevol d'ells es compleix que la suma dels seus angles interns és 360º, per tant compleixen amb la definició donada a l'inici.

Vegem alguns exemples de quadrilàters i com calcular el valor els seus angles interns d'acord a la informació de les seccions precedents:

exemples

a) Tres dels angles d'un quadrilàter mesuren 75º, 110º i 70º. Quant ha de mesurar l'angle restant?

b) Trobar el valor de l'angle ∠Q a la figura 3 i.

c) Calcular quant mesura l'angle ∠A de la figura 3 ii.

solució a

Sigui α l'angle que falta, es compleix que:

α + 75 º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

solució b

La figura 3i mostrada és un trapezoide i dos dels seus angles interns són rectes, que han estat assenyalats amb un quadrat de color a les cantonades. Per a aquest quadrilàter es verifica el següent:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90º; ∠P = 60º

Per tant:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

solució c

El quadrilàter de la figura 3 ii també és un trapezi, per al qual es compleix el següent:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Per tant:

4x -5 + 3x +10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Per determinar l'angle demanat a l'enunciat, es fa ús de què ∠A = 4x - 5. Substituint el valor de x prèviament calculat se segueix que ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

exercicis

- Exercici 1

Sabent que un dels angles mostrats val 125º, trobar les mesures dels 7 angles restants en la següent figura i justificar les respostes.

Figura 4. Les rectes i els angles de l'exercici 1. Font: F. Zapata.

solució

L'angle 6 i l'angle 125º són conjugats interns, la suma val 180º, d'acord a la propietat dels angles conjugats, per tant:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

D'altra banda ∠6 i ∠8 són angles oposats pel vèrtex, la mesura és la mateixa. Per tant ∠8 mesura 55º.

L'angle ∠1 també és oposat pel vèrtex a 125è, després podem afirmar que ∠1 = 125º. També podem apel·lar a el fet que els parells d'angles corresponents tenen la mateixa mida. A la figura aquests angles són:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Exercici 2

Trobar el valor de x en la següent figura i els valors de tots els angles:

Figura 5. Rectes i angles per a l'exercici 2. Font: F. Zapata.

solució

Ja que són parells corresponents, es dedueix que F = 73º. I d'altra banda la suma dels parells conjugats és 180º, per tant:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Finalment el valor de x és:

x = 87/3 = 29

Pel que fa a l'exterior, apareixen llistats en la següent figura:

Figura 6. Angles resultants en l'exercici 2. Font: F. Zapata.

referències

1. Angle Groups. Complementary, Supplementary and Explementary Angles Explanation. Recuperat de: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Geometria Plana i de l'Espai i Trigonometria. Grup Pàtria Cultural.
3. Corral, el Sr. Mathematics LibreTexts: Angles. Recuperat de: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Classifying and Constructing angles by their measurement. Recuperat de: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperat de: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Angles conjugats. Recuperat de: es.wikipedia.org.