ANGLES COMPLEMENTARIS: QUINS I COM ES CALCULEN, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Dos o més angles són angles complementaris si la suma de les seves mesures es correspon amb la d'un angle recte. Com se sap, la mesura d'un angle recte en graus és 90º, i en radiants és π / 2.

Per exemple, els dos angles adjacents a la hipotenusa d'un triangle rectangle són complementaris entre si, ja que la suma de les seves mesures és 90º. La següent figura és molt il·lustrativa a l'respecte:

Figura 1. A l'esquerra, diversos angles amb vèrtex comú. A la dreta un angle de 60º que complementa l'angle α (alfa). Font: F. Zapata.

A la figura 1 es mostra un total de quatre angles. α i β són complementaris ja que són adjacents i la seva suma completa un angle recte. Similarment β és complementari de γ, d'on es dedueix que γ i α són d'igual mida.

Ara bé, com la suma de α i δ és igual a 90 graus, pot afirmar-se que α i δ són complementaris. A més, com β i δ tenen un mateix complementari α, es pot afirmar que β i δ tenen la mateixa mida.

Exemples d'angles complementaris

En els exemples següents es demana trobar els angles desconeguts, assenyalats amb interrogació a la figura 2.

Figura 2. Diversos exemples d'angles complementaris. Font: F. Zapata.

- Exemples A, B i C

Els següents exemples van en ordre de complexitat.

exemple A

A la figura superior tenim que els angles adjacents α i 40º sumen un angle recte. És a dir α + 40º = 90º, per tant α = 90º- 40º = 50º.

exemple B

Com β és complementari amb l'angle de 35º, llavors β = 90º - 35º = 55º.

exemple C

De la figura 2C s'ha de la suma de γ + 15º + 15º = 90º. És a dir que γ és complementari amb l'angle 30º = 15º + 15º. De manera que:

γ = 90º- 30º = 60º

- Exemples D, E i F

En aquests exemples hi ha més angles involucrats. Per trobar les incògnites, el lector ha d'aplicar el concepte d'angle complementari tantes vegades com sigui necessari.

exemple D

Com X és complementari amb 72º, es dedueix que X = 90º - 72º = 18º. A més I és complementari amb X, llavors I = 90º - 18º = 72º.

Finalment Z és complementari amb Y. De tot l'anterior es dedueix que:

Z = 90º - 72º = 18º

exemple I

Els angles δ i 2δ són complementaris, per tant δ + 2δ = 90º.

És a dir 3δ = 90º, el que implica que δ = 90º / 3 = 30º.

exemple F

Si anomenem U a l'angle que està entre ω i el de 10º es té llavors que U és suplementari a ells dos, perquè s'observa que la seva suma completa un angle recte. D'on es dedueix que U = 80º. Com U és complementari amb ω, aleshores ω = 10º.

exercicis

A continuació es proposen tres exercicis. En tots ells ha trobar-se el valor dels angles A i B en graus, de manera que es compleixin les relacions mostrades a la figura 3.

Figura 3. Il·lustracions per als exercicis d'angles complementaris. Font: F. Zapata.

- Exercici 1

Determineu els valors dels angles A i B de la part I) de la figura 3.

solució

De la figura mostrada es veu que A i B són complementaris, per tant A + B = 90º. Se substitueix l'expressió de A i de B com a funció de x donada en la part I):

(X / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Seguidament s'agrupen els termes apropiadament i s'obté una equació lineal senzilla:

(5x / 2) + 22 = 90

Restant 22 en tots dos membres es té:

5x / 2 = 90 -22 = 68

I finalment s'aïlla el valor de x:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Ara es troba l'angle A substituint el valor de X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Mentre que l'angle B és:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5è = 69,4º.

- Exercici 2

Trobeu els valors dels angles A i B d'imatge II, figura 3.

solució

Novament, com A i B són angles complementaris s'ha de: A + B = 90º. Substituint l'expressió de A i de B com a funció de x donada a la part II) de la figura 3 es té:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

S'agrupen els termes semblants per obtenir l'equació:

6 x + 30 = 90

Dividint els dos membres entre 6 s'obté:

x + 5 = 15

D'on es dedueix que x = 10º.

Per tant:

A = 2 * 10-10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Exercici 3

Determineu els valors dels angles A i B de la part III) de la figura 3.

solució

Una altra vegada s'analitza la figura acuradament per buscar els angles complementaris. En aquest cas s'ha de A + B = 90 graus. Substituint l'expressió de A i de B com a funció de x donada a la figura, es té:

(-X +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Dividint els dos membres entre 3 resulta el següent:

x + 10 = 30

D'on es dedueix que x = 20º.

És a dir que l'angle A = -20 + 45 = 25º. I per la seva part: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Angles de costats perpendiculars

Es diu que dos angles són de costats perpendiculars si cada costat té el seu corresponent perpendicular a l'altre. La següent figura aclareix el concepte:

Figura 4. Angles de costats perpendiculars. Font: F. Zapata.

A la figura 4 s'observen els angles α i θ, per exemple. Ara cal notar que cada angle té el seu corresponent perpendicular a l'altre angle.

També es veu que α i θ tenen el mateix angle complementari z, per tant l'observador conclou immediatament que α i θ tenen la mateixa mida. Sembla llavors que si dos angles tenen costats perpendiculars entre si, són iguals, però vegem un altre cas.

Ara consideri els angles α i ω. Aquests dos angles també tenen costats corresponents perpendiculars, però no es pot dir que siguin d'igual mesura, ja que un és agut i l'altre és obtús.

Cal notar que ω + θ = 180º. A més θ = α. Si substitueix aquesta expressió de z en la primera equació s'obté:

δ + α = 180º, sent que δ i α són angles de costats mútuament perpendiculars.

Regla general per als angles de costats perpendiculars

1. Baldor, JA 1973. Geometria plana i de l'espai. Cultural Centroamericana.
2. Lleis i fórmules matemàtiques. Sistemes de mesura d'angles. Recuperat de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperat de: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Angles complementaris. Recuperat de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportador. Recuperat de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniòmetre: història, parts, funcionament. Recuperat de: lifeder.com