ANGLE NUL: DEFINICIÓ I CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

L' angle nul és aquell la mesura val 0, tant en graus com en radiants o altre sistema de mesura d'angles. Per tant no té amplitud o d'obertura, com el que es forma entre dues rectes paral·leles.

Encara que la seva definició sona bastant simple, l'angle nul és molt útil en moltes aplicacions de física i enginyeria, així com en navegació i disseny.

Figura 1. Entre la velocitat i l'acceleració de l'acte hi ha un angle nul, per tant la interlocutòria va cada vegada més ràpid. Font: Wikimedia Commons.

Hi ha quantitats físiques que s'han d'alinear paral·lelament per aconseguir certs efectes: si un acte es mou en línia recta per una autopista i entre el seu vector velocitat v i el seu vector acceleració a hi ha 0º, l'acte cada vegada es mou més ràpid, però si l'acte frena, la seva acceleració és oposada a la seva velocitat (veure figura 1).

A la següent figura apareixen diferents tipus d'angle incloent a l'angle nul a la dreta. Com es pot apreciar, l'angle 0º manca d'amplitud o obertura.

Figura 2. Tipus d'angle, incloent a l'angle nul. Font: Wikimedia Commons. Orias.

Exemples d'angles nuls

Se sap que les rectes paral·leles formen entre si un angle nul. Quan es té una recta horitzontal, aquesta és paral·lela a l'eix x d'sistema de coordenades cartesià, per tant la seva inclinació respecte a ell és 0. En altres paraules, les rectes horitzontals tenen pendent nul·la.

Figura 3. Les rectes horitzontals tenen pendent nul·la. Font: F. Zapata.

Així mateix les raons trigonomètriques d'l'angle nul són 0, 1 o infinit. Per tant l'angle nul es fa present en moltes situacions físiques que involucren operacions amb vectors. Això és així:

-sen 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-Sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

I seran d'utilitat per a analitzar alguns exemples de situacions en què la presència de l'angle nul té un paper fonamental:

- Efectes de l'angle nul en magnituds físiques

Suma de vectors

Quan dos vectors són paral·lels, l'angle entre ells és nul, com es veu a la figura 4a de dalt. En aquest cas, la suma dels dos es porta a terme col·locant un a continuació de l'altre i la magnitud de el vector suma és la suma de les magnituds dels sumands (figura 4b).

Figura 4. Suma de vectors paral·lels, en aquest cas l'angle entre ells és un angle nul. Font: F. Zapata.

Quan dos vectors són paral·lels, l'angle entre ells és nul, com es veu a la figura 4a de dalt. En aquest cas, la suma dels dos es porta a terme col·locant un a continuació de l'altre i la magnitud de el vector suma és la suma de les magnituds dels sumands (figura 4b)

El torque o moment de torsió

El torque o moment de torsió origina la rotació d'un cos. Depèn de la magnitud de la força aplicada i de com aquesta s'aplica. Un exemple molt representatiu és la clau anglesa de la figura.

Per aconseguir el millor efecte de gir s'aplica la força perpendicularment a l'mànec de la clau, ja sigui cap amunt o cap avall, però no s'espera rotació si la força és paral·lela a mànec.

Figura 5. Quan l'angle entre els vectors de posició i força és nul, no es produeix torque i per tant no hi ha efecte de gir. Font: F. Zapata.

Matemàticament el torque τ es defineix com el producte vectorial o producte creu entre els vectors r (vector de posició) i F (vector força) de la figura 5:

τ = r x F

La magnitud de l'torque és:

τ = r F sin θ

Sent θ l'angle entre r i F. Quan sen θ = 0 el torque és nul, en aquest cas θ = 0º (o també 180 º).

Flux de camp elèctric

El flux de camp elèctric és una magnitud escalar que depèn de la intensitat de camp elèctric així com de l'orientació de la superfície per la que travessa.

A la figura 6 hi ha una superfície circular d'àrea A per la qual passen les línies de camp elèctric E. L'orientació de la superfície està donada pel vector normal n. A l'esquerra el camp i el vector normal formen un angle agut arbitrari θ, al centre formen entre si un angle nul i la dreta estan perpendiculars.

Quan E i n són perpendiculars, les línies de camp no travessen la superfície i per tant el flux és zero, mentre que quan l'angle entre E i n és nul, les línies travessen completament la superfície.

Denotant el flux de camp elèctric mitjançant la lletra grega Φ (es llegeix "fi"), la seva definició per a un camp uniforme com a la figura, queda així:

Φ = E • n A

El punt en el medi de tots dos vectors denota el producte punt o producte escalar, que alternativament es defineix així:

Φ = E • n A = EAcosθ

Les negretes i les fletxes sobre de la lletra són recursos per a diferenciar entre un vector i la seva magnitud, que es denota amb lletres normals. Atès que cos 0 = 1, el flux és màxim quan E i n són paral·lels.

Figura 6. El flux de camp elèctric depèn de l'orientació entre la superfície i el camp elèctric. Font: F. Zapata.

exercicis

- Exercici 1

Dues forces P i Q actuen simultàniament sobre un objecte puntual X, les dues forces formen inicialment un angle θ entre elles. Què li passa a la magnitud de la força resultant quan θ decreix fins a anul·lar-?

Figura 7. L'angle entre dues forces que actuen sobre un cos decreix fins anul·lar-se, en aquest cas la magnitud de la força resultant adquireix el seu valor màxim. Font: F. Zapata.

solució

La magnitud de la força resultant Q + P va augmentant gradualment fins a ser màxima quan Q i P estan totalment paral·leles (figura 7 dreta).

- Exercici 2

Assenyaleu si l'angle nul és solució de l'equació trigonomètrica:

solució

Una equació trigonomètrica és aquella en la qual la incògnita forma part de l'argument d'una raó trigonomètrica. Per a la resoldre l'equació proposta, és convenient fer ús de la fórmula per al cosinus de l'angle doble:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Perquè d'aquesta manera, l'argument en costat esquerre passa a ser x en comptes de 2x. llavors:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4sen x

D'altra banda cos ² x + sin ² x = 1, així que:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4sen x

El terme cos ² x es cancel·la i queda:

- sin ² x = sin ² x + 4sen x → - 2sen ² x - 4senx = 0 → 2sen ² x + 4senx = 0

Ara es fa el següent canvi de variable: sinx = ui l'equació es transforma en:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Que les seves solucions són: u = 0 i u = -4. Retornant el canvi tindríem dues possibilitats: sin x = 0 i sinx = -4. Aquesta última solució no és viable, perquè el si de qualsevol angle està comprès entre -1 i 1, de manera que ens vam quedar amb la primera alternativa:

sin x = 0

Per tant x = 0º és una solució, però també serveix qualsevol angle el si sigui 0, que pot ser també 180º (π radians), 360º (2 π radians) i els respectius negatius també.

La solució més general de l'equació trigonomètrica és: x = kπ on k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k un nombre sencer.

referències

1. Baldor, A. 2004. Geometria plana i de l'espai amb Trigonometria. Publicacions Cultural SA de CV Mèxic.
2. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 3. Sistemes de Partícules. Editat per Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Sèrie: Física per a Ciències i Enginyeria. Volum 5. Interacció Elèctrica. Editat per Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Types of angles. Recuperat de: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Àlgebra, Trigonometria i Geometria Analítica. McGraw Hill Interamericana.