- Quins són nombres transcendents?
- El nombre π
- El nombre i
- Fórmules on apareix el nombre transcendent π
- El perímetre de la circumferència
- Àrea d'un cercle
- Superfície d'una esfera
- Volum de l'esfera
- exercicis
- - Exercici 1
- solució
- - Exercici 2
- solució
- referències
Els nombres transcendents són aquells que no poden obtenir com a resultat d'una equació polinòmica. El contrari a un nombre transcendent és un nombre algebraic, que són solucions d'una equació polinòmica de l'tipus:
a n x n + a n-1 x n-1 +…… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0
On els coeficients a n, a n-1,….. a 2, a 1, a 0 són nombres racionals, cridats els coeficients de l'polinomi. Si un nombre x és solució de l'equació anterior, llavors aquest nombre no és transcendent.
Figura 1. Dos nombres de gran importància en la ciència són nombres transcendents. Font: publicdomainpictures.net.
Analitzarem uns quants números i veurem si són o no transcendents:
a) 3 no és transcendent perquè és solució de x - 3 = 0.
b) -2 no pot ser transcendent perquè és solució de x + 2 = 0.
c) ⅓ és solució de 3x - 1 = 0
d) Una solució de l'equació x 2 - 2x + 1 = 0 és √2 -1, pel que dit nombre per definició no és transcendent.
e) Tampoc ho és √2 perquè és el resultat de l'equació x 2 - 2 = 0. A l'elevar √2 a el quadrat dóna com a resultat 2, que restat de 2 és igual a zero. Llavors √2 és un nombre irracional però no és transcendent.
Quins són nombres transcendents?
El problema és que no hi ha una regla general per obtenir-los (més endavant direm una forma), però alguns dels més famosos són el nombre pi i el nombre de Neper, denotats respectivament per: π i e.
El nombre π
El nombre π apareix naturalment observant que el quocient matemàtic entre el perímetre P d'un cercle i el seu diàmetre D, independentment de si es tracta d'un cercle petit o gran, sempre dóna el mateix número, anomenat pi:
π = P / D ≈ 3,14159……
Això vol dir que si es pren com a unitat de mesura el diàmetre de la circumferència, per a totes, siguin grans o petites, el perímetre valdrà sempre P = 3,14… = π, tal com es pot veure en l'animació de la figura 2.
Figura 2. La longitud de perímetre d'un cercle és pi vegades la longitud de l'diàmetre, sent pi aproximadament 3,1416.
Per poder determinar més decimals cal mesurar amb més precisió P i D i després calcular el quocient, la qual cosa s'ha fet en forma matemàtica. La conclusió és que els decimals de l'quocient no tenen fi i mai es repeteixen, de manera que el nombre π a més de ser transcendent també és irracional.
Un nombre irracional és aquell nombre que no pot ser expressat com la divisió de dos nombres enters.
Se sap que tot nombre transcendent és irracional, però no és cert que tots els irracionals siguin transcendents. Per exemple √2 és irracional, però no és transcendent.
Figura 3. Els nombres transcendents són irracionals, però l'afirmació recíproca no és certa.
El nombre i
El nombre transcendent i és la base dels logaritmes neperians i la seva aproximació decimal és:
i ≈ 2.718281828459045235360….
Si es volgués escriure el nombre i en forma exacta, caldria escriure infinits decimals, perquè tot nombre transcendent és irracional, tal com es va dir abans.
Els primers deu dígits d'e són fàcils de recordar:
2,7 1828 1828 i encara que semblés seguir un patró repetitiu, aquest no s'aconsegueix en els decimals d'ordre major a nou.
Una definició més formal de e és la següent:
El que vol dir que el valor exacte d'e s'aconsegueix realitzant l'operació indicada en aquesta fórmula, quan el nombre natural n tendeix a infinit.
Això explica per què només podem obtenir aproximacions d'e, ja que per més gran que es col·loqui el nombre n, sempre es podrà trobar un n més gran.
Busquem per compte propi algunes aproximacions:
-Quan n = 100 llavors (1 + 1/100) 100 = 2,70481 que tot just coincideix en el primer decimal amb el "veritable" valor de e.
-Si es tria n = 10.000 es té (1 + 1 / 10.000) 10.000 = 2,71815 que coincideix amb el valor "exacte" d'e en els tres primers decimals.
Caldria seguir aquest procés a l'infinit per poder obtenir el "veritable" valor de e. No crec que tinguem temps de aconseguir-ho, però fem un intent més:
Fem servir n = 100.000:
(1 + 1 / 100.000) 100.000 = 2,7182682372
Que només té quatre decimals coincidents amb el valor considerat exacte.
L'important és entendre que entre major sigui el valor de n triat per calcular i n, més a prop s'estarà d'el valor veritable. Però aquest valor vertader només es tindrà quan n sigui infinit.
Figura 4. Es mostra gràficament com a major valor de n s'està més proper d'e, però per arribar a la valor exacta n ha de ser infinit.
Altres números transcendents
A part d'aquests números famosos hi ha altres nombres transcendents, per exemple:
- 2 √2
-El nombre de Champernowne en base 10:
C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….
-El nombre de Champernowne en base 2:
C_2 =,1101110010110111….
-El nombre Gamma γ o constant d'Euler-Mascheroni:
γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606
Que s'obté fent el següent càlcul:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Per quan n sigui molt molt gran. Per tenir el valor exacte de l'nombre Gama es necessitaria fer el càlcul amb n infinit. Una cosa semblant al que vam fer més amunt.
I hi ha molts números transcendents més. El gran matemàtic Georg Cantor, nascut a Rússia i que va viure entre 1845 i 1918, va demostrar que el conjunt dels nombres transcendents és molt més gran que el conjunt dels nombres algebraics.
Fórmules on apareix el nombre transcendent π
El perímetre de la circumferència
P = π D = 2 π R, on P és el perímetre, D el diàmetre i R el radi de la circumferència. Cal recordar que:
-El diàmetre de la circumferència és el segment més llarg que uneix dos punts de la mateixa i que sempre passa pel seu centre,
-El ràdio és la meitat de l'diàmetre i és el segment que va de el centre a la vora.
Àrea d'un cercle
A = π R 2 = ¼ π D 2
Superfície d'una esfera
S = 4 π R 2.
Sí. Encara que no ho sembli, la superfície d'una esfera és la mateixa que la de quatre cercles de la mateixa ràdio que l'esfera.
Volum de l'esfera
V = 4/3 π R 3
exercicis
- Exercici 1
La pizzeria "EXÒTICA" ven pizzes de tres diàmetres: petita de 30 cm, mitjana de 37 cm i gran de 45 cm. Un nen té molta gana i es va adonar que dues pizzes petites tenen el mateix cost que una gran. Què serà millor per a ell, comprar dues pizzes petites o una de gran?
Figura 5.- L'àrea d'una pizza és proporcional a el quadrat de el radi, sent pi la constant de proporcionalitat. Font: Pixabay.
solució
Entre més gran sigui l'àrea més gran serà la quantitat de pizza, per aquesta raó es calcularà l'àrea d'una pizza gran i es compararà amb la de dos pizzes petites:
Àrea de la pizza gran = ¼ π D 2 = ¼ ⋅3,1416⋅45 2 = 1590,44 cm 2
Àrea de la pizza petita = ¼ π d 2 = ¼ ⋅3,1416⋅30 2 = 706,86 cm 2
Per tant dues pizzes petita tindran una àrea de
2 x 706,86 = 1.413,72 cm 2.
Queda clar: es tindrà major quantitat de pizza comprant una sola gran que dues petites.
- Exercici 2
La pizzeria "EXÒTICA" ven també una pizza semiesfèrica de 30 cm de radi pel mateix preu d'una de forma rectangular de 30 x 40 cm de costat. Quin triaries tu?
Figura 6.- La superfície d'una semiesfera és el doble de la superfície circular de la base. Font: F. Zapata.
solució
Com s'ha dit en la secció anterior, la superfície d'una esfera és quatre vegades més gran que la d'un cercle de la mateixa diàmetre, de manera que una semiesfera de 30 cm de diàmetre tindrà:
Pizza semiesfèrica de 30 cm: 1.413,72 cm 2 (el doble d'una circular de el mateix diàmetre)
Pizza rectangular: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm 2.
La pizza semiesfèrica té major àrea.
referències
- Fernández J. El nombre e. Origen i curiositats. Recuperat de: soymatematicas.com
- Gaudeix les matemàtiques. El nombre d'Euler. Recuperat de: disfrutalasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. Matemàtica 1ro. Diversificat. edicions CO-BO.
- García, M. El nombre i en el càlcul elemental. Recuperat de: matematica.ciens.ucv.ve.
- Wikipedia. Nombre pi. Recuperat de: wikipedia.com
- Wikipedia. Números transcendents. Recuperat de: wikipedia.com