ELS NOMBRES REALS: HISTÒRIA, EXEMPLES, PROPIETATS, OPERACIONS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els nombres reals constitueixen el conjunt numèric que abasta als nombres naturals, els enters, els racionals i els irracionals. Es denoten amb el símbol ℝ o simplement R i l'abast que tenen en ciència, enginyeria i economia és tal, que a l'parlar de "nombre", gairebé es dóna per fet que es tracta d'un nombre real.

Els nombres reals es vénen utilitzant des de l'antiguitat, si bé no se'ls donava aquest nom. Ja a partir de l'època en què Pitàgores va desenvolupar la seva cèlebre teorema, van sorgir nombres que no es podien obtenir com quocients de nombres naturals o nombres enters.

Figura 1. Diagrama de Venn que mostra com el conjunt dels nombres reals conté els altres conjunts numèrics. Font> Wikimedia Commons.

Exemples de nombres són √2, √3 i π. Aquests nombres són anomenats irracionals, en contraposició als nombres racionals, que sí que provenen de quocients entre nombres enters. Calia doncs, un conjunt numèric que abracés totes dues classes de nombres.

El terme "nombre real" va ser creat pel gran matemàtic René Descartes (1596-1650), per distingir entre les dues classes d'arrels que poden sorgir de resoldre una equació polinòmica.

Algunes d'aquestes arrels poden ser arrels parells de nombres negatius, a hores d'Descartes les va anomenar "nombres imaginaris" ia les que no, eren nombres reals.

La denominació va persistir en el temps, donant origen a dos grans conjunts numèrics: els nombres reals i els nombres complexos, un conjunt més ampli que inclou els nombres reals, als imaginaris i als que són en part reals i en part imaginaris.

L'evolució dels nombres reals va seguir el seu curs fins que el 1872, el matemàtic Richard Dedekind (1831-1936) va definir amb tota formalitat a el conjunt dels nombres reals a través de les anomenades talls de Dedekind. La síntesi del seu treball va ser publicada en un article que va veure la llum aquest mateix any.

Exemples de nombres reals

El següent quadre mostra exemples de nombres reals. Dit conjunt té com subconjunts als nombres naturals, els enters, els racionals i els irracionals. Qualsevol nombre d'aquests conjunts és, en si mateix, un nombre real.

Per tant el 0, els negatius, els positius, fraccions i decimals són nombres reals.

Figura 2. Exemples de nombres reals són els naturals, els enters, els racionals, els irracionals i els transcendents. Font: F. Zapata.

Representació dels nombres reals en la recta real

Els nombres reals es poden representar sobre la recta real R, com es mostra a la figura. No cal que el 0 sempre estigui present, però és convenient saber que a la seva esquerra hi ha els reals negatius ia la dreta els positius. Per això és un excel·lent punt de referència.

Sobre la recta real es pren una escala, en la qual es troben els enters:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. La fletxa indica que la recta s'estén fins a infinit. Però això no és tot, en qualsevol interval considerat, també trobarem sempre infinits nombres reals.

Els nombres reals es representen en ordre. Per començar està l'ordre dels nombres enters, en els quals els positius sempre són més grans que 0, mentre que els negatius són menors.

Aquest ordre es manté dins dels nombres reals. Les següents desigualtats es mostren a tall d'exemple:

a) -1/2 <√2

b) i <π

c) π> -1/2

Figura 3.- La recta real. Font: Wikimedia Commons.

Propietats dels nombres reals

-Els nombres reals inclouen als nombres naturals, els enters, els racionals i els irracionals.

-Es compleix la propietat commutativa de la suma: l'ordre dels sumands no altera la suma. Si aib són dos nombres reals, sempre es compleix que:

a + b = b + a

-El 0 és l'element neutre de la suma: a + 0 = a

-Per a la suma es compleix la propietat associativa. Si a, bic són nombres reals: (a + b) + c = a + (b + c).

-El oposat d'un nombre real a és -a.

-La resta es defineix com la suma de l'oposat: a - b = a + (-b).

-Es compleix la propietat commutativa del producte: l'ordre dels factors no altera el producte: ab = ba

-En el producte també s'aplica la propietat associativa: (ab).c = a. (Bc)

-L'1 és l'element neutre de la multiplicació: a.1 = a

-És vàlida la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la addició: a. (B + c) = ab + ac

-La divisió per 0 no està definida.

Qualsevol nombre real a, excepte el 0, té invers multiplicatiu a ^-1 tal que aa ^-1 = 1.

-Si a és un nombre real: a ⁰ = 1 ja ¹ = a.

-El valor absolut o mòdul d'un nombre real és la distància entre aquest nombre i el 0.

Operacions amb nombres reals

Amb els números reals es poden fer les operacions que es fan amb els altres conjunts numèrics, incloent suma, resta, multiplicació, divisió, potenciació, radicació, logaritmes i més.

Com sempre, la divisió per 0 no està definida, tampoc existeixen els logaritmes de nombres negatius ni de 0, tot i que es compleix que el log 1 = 0 i que els logaritmes de nombres entre 0 i 1 són negatius.

aplicacions

Les aplicacions dels nombres reals a tot tipus de situacions són summament variades. Els nombres reals apareixen com a resposta a molts problemes en ciències exactes, computació, enginyeria, economia i ciències socials.

Tot tipus de magnituds i quantitats com distàncies, temps, forces, intensitat del so, diners i moltes més, tenen la seva expressió en els números reals.

La transmissió de senyals telefòniques, la imatge i el so d'un vídeo, la temperatura d'un aire condicionat, d'un calefactor o d'un refrigerador poden controlar digitalment, la qual cosa significa transformar magnituds físiques en seqüències numèriques.

El mateix succeeix quan es fa una transacció bancària per Internet o es consulta la missatgeria instantània. Els nombres reals estan per tot arreu.

exercici resolt

Anem a veure amb exercicis com funcionen aquests nombres en situacions comuns amb què ens trobem diàriament.

exercici 1

L'oficina de correus només accepta paquets per als quals el llarg, més la mesura de el contorn, no excedeixi 108 polzades. Per tant, perquè el paquet mostrat sigui acceptat, s'ha de complir que:

L + 2 (x + i) ≤ 108

a) Aconseguirà passar un paquet que mesura 6 polzades d'ample, 8 polzades d'alt i 5 peus de llarg?

b) Què hi ha d'un que mesuri 2 x 2 x 4 peus ^març ?

c) Quin és el major alt acceptable per a un paquet la base és quadrada i mesura 9 x 9 polzades ² ?

Resposta a

L = 5 peus = 60 polzades

x = 6 polzades

i = 8 polzades

L'operació a resoldre és:

L + 2 (x + i) = 60 + 2 (6 + 8) polzades = 60 + 2 x 14 polzades = 60 + 28 polzades = 88 polzades

El paquet és acceptat.

Resposta b

Les dimensions d'aquest paquet són menors que les de el paquet a), així que tots dos aconsegueixen passar.

Resposta c

En aquest paquet:

x = L = 9 polzades

S'ha de complir que:

9+ 2 (9 + i) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

i ≤ 40.5 polzades

referències

1. Carena, M. 2019. Manual de Matemàtica Preuniversitaria. Universitat Nacional d'el Litoral.
2. Diego, A. Els nombres reals i les seves propietats. Recuperat de: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matemàtica 9pas. Grau. edicions CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precàlcul: Matemàtiques per al Càlcul. 5ta. Edició. Cengage Learning.