NOMBRES PRIMERS: CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els nombres primers, també anomenats cosins absoluts, són aquells nombres naturals que únicament són divisibles entre si mateixos i el 1. En aquesta categoria entren nombres com: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i molts més.

En canvi, un nombre compost és divisible per si mateix, per l'1 i al menys un nombre més. Tenim per exemple el 12, que és divisible per 1, 2, 4, 6 i 12. Per convenció, l'1 no està inclòs en la llista dels nombres primers ni en la dels compostos.

Figura 1. Alguns nombres primers. Font: Wikimedia Commons.

El coneixement dels nombres primers data de temps remots; els antics egipcis i als manejaven i segurament eren coneguts des de molt abans.

Aquests números són molt importants, ja que qualsevol nombre natural pot ser representat mitjançant el producte de nombres primers, sent aquesta representació única, excepte en l'ordre dels factors.

Aquest fet queda plenament establert en un teorema anomenat teorema fonamental de l'aritmètica, el qual afirma que els nombres que no són primers, necessàriament estan conformats per productes de nombres que sí que ho són.

Característiques dels nombres primers

A continuació les principals característiques dels nombres primers:

-Són infinits, ja que per més gran que sigui un nombre primer, sempre es pot trobar un altre més gran.

-Si un nombre primer p no divideix exactament a un altre número a, es diu llavors que pya són primers entre si. Quan això succeeix, l'únic divisor comú que tenen tots dos és l'1.

No cal que a sigui primer absolut. Per exemple, el 5 és primer, i encara que el 12 no ho és, tots dos nombres són primers entre si, ja que els dos tenen com a divisor comú a l'1.

-Quan un nombre primer p divideix a una potència de el nombre n, també divideix an. Considerem el 100, que és un potència de 10, concretament 10 ². Ocorre que el 2 divideix tant a 100 com a 10.

-Tots els nombres primers són senars a excepció de el 2, per tant el seu últim dígit és 1, 3, 7 o 9. El 5 no està inclòs, perquè encara que és imparell i primer, mai és la xifra final d'un altre nombre primer. De fet tots els números que acaben en 5 són múltiples d'aquest i per tant no són primers.

-Si p és primer i divisor del producte de dos nombres ab, llavors p divideix a un d'ells. Per exemple, el nombre primer 3 divideix el producte 9 x 11 = 99, ja que 3 és divisor de el 9.

Com saber si un nombre és primer

La primalitat és el nom donat a la qualitat de ser primer. Doncs bé, el matemàtic francès Pierre de Fermat (1601-1665) va trobar una manera de comprovar la primalitat d'un nombre, en l'anomenat petit teorema de Fermat, que diu així:

"Donats un nombre natural primer p i un nombre natural qualsevol a major que 0, es compleix que a ^p - a és múltiple de p, sempre que p sigui primer".

Podem corroborar això usant nombres petits, per exemple suposem que p = 4, que ja sabem que no és primer ja = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296-6 = 1290

El nombre 1290 no és divisible exactament entre 4, per tant 4 no és nombre primer.

Fem la prova ara amb p = 5, el qual és primer ja = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766-6 = 7760

7760 és divisible entre 5, ja que qualsevol nombre que acaba en 0 o en 5 ho és. De fet 7760/5 = 1554. Com es compleix el petit teorema de Fermat, podem assegurar que 5 és nombre primer.

La prova a través del teorema és efectiva i directa amb nombres petits, en els quals l'operació sigui fàcil de realitzar, però què fer si ens demanen esbrinar la primalitat d'un nombre gran?

En aquest cas el nombre es divideix successivament entre tots els nombres primers menors, fins a donar amb alguna divisió exacta o que el quocient sigui menor que el divisor.

Si alguna divisió és exacta, vol dir que el nombre és compost i si el quocient és menor que el divisor, vol dir que el nombre és primer. El posarem en pràctica en l'exercici resolt 2.

Formes de trobar un nombre primer

Hi ha infinits nombres primers i no existeix una fórmula única per determinar-los. No obstant això, observant alguns nombres primers com aquests:

3, 7, 31, 127…

S'observa que són de la forma 2 ⁿ - 1, amb n = 2, 3, 5, 7, 9… Ens assegurem això:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Però no podem assegurar que en general 2 ⁿ - 1 sigui primer, perquè hi ha alguns valors de n per als quals no funciona, per exemple el 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

I el número 15 no és primer, ja que acaba en 5. No obstant això, un dels nombres primers més grans que es coneixen, trobat mitjançant càlculs fets amb ordinador, és de la forma 2 ⁿ - 1 amb:

n = 57.885.161

La fórmula de Mersenne ens assegura que 2 ^p - 1 sempre és primer, amb tal que p sigui primer també. Per exemple, el 31 és primer, llavors és segur que 2 ³¹ - 1 el sigui també:

2 ³¹ - 1 = 2147483647

No obstant això, la fórmula permet determinar solament alguns nombres primers, no tots.

La fórmula d'Euler

El següent polinomi permet trobar nombres primers amb tal que n estigui comprès entre 0 i 39:

P (n) = n ² + n + 41

Més endavant, a la secció d'exercicis resolts hi ha un exemple del seu ús.

El sedàs d'Eratòstenes

Eratòstenes va ser un físic i matemàtic de l'Antiga Grècia que va viure al segle III aC Va idear un mètode gràfic de trobar els nombres primers que podem posar en pràctica amb nombres petits, es diu el sedàs d'Eratòstenes (un garbell és com un colador).

-Es col·loquen els nombres en una taula com la que es mostra en l'animació.

-Seguidamente es titllen els números parells, excepte el 2 que sabem que és primer. Tots els altres són múltiples d'aquest i per tant no són primers.

-També es marquen els múltiples de l'3, de l'5, de el 7 i de l'11, excloent-los a tots ells perquè sabem que són primers.

-Els múltiples de 4, 6, 8, 9 i 10 queden ja marcats, perquè són compostos i per tant múltiples de algun dels cosins assenyalats.

-Per últim, els nombres que queden sense marcar són primers.

Figura 2. Animació del garbell d'Eratòstenes. Font: Wikimedia Commons.

exercicis

- Exercici 1

Utilitzant el polinomi d'Euler per nombres primers, trobar 3 nombres majors que 100.

solució

Aquest és el polinomi que Euler va proposar per trobar nombres primers, el qual funciona per valors de n entre 0 i 39.

P (n) = n ² + n + 41

Mitjançant tempteig seleccionem un valor de n, per exemple n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Com n = 8 produeix un nombre primer més gran que 100, llavors avaluem el polinomi per n = 9 i n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Exercici 2

Descobrir si els següents nombres són primers:

a) 13

b) 191

solució a

El 13 és prou petit com per utilitzar el petit teorema de Fermat i l'ajuda de la calculadora.

Fem servir a = 2 perquè els números no resultin massa grans, encara que també es poden usar a = 3, 4 o 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 és divisible entre 2, ja que és parell, per tant 13 és primer. El lector ho pot corroborar fent la mateixa prova amb a = 3.

solució b

191 és molt gran com per provar amb el teorema i una calculadora comú, però podem temptejar la divisió entre cada nombre primer. Ometem dividir entre 2 perquè 191 no és parell i la divisió no serà exacta ni el quocient inferior a 2.

Vam provar a dividir entre 3:

191/3 = 63,666…

I no dóna exacte, ni el quocient és menor que el divisor (63,666… és més gran que 3)

Seguim provant així a dividir 191 entre els cosins 5, 7, 11, 13 i tampoc s'arriba a la divisió exacta, ni el quocient menor que el divisor. Fins que es divideix entre 17:

191/17 = 11, 2352…

Com que no és exacta i 11,2352… és menor que 17, el nombre 191 si és primer.

referències

1. Baldor, A. 1986. Aritmètica. Edicions i Distribucions Còdex.
2. Prieto, C. Els nombres primers. Recuperat de: paginas.matem.unam.mx.
3. Properties of prime numbers. Recuperat de: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Nombres primers: com trobar-los amb el sedàs d'Eratòstenes. Recuperat de: smartick.es.
5. Wikipedia. Nombre primer. Recuperat de: es.wikipedia.org.