NÚMEROS NATURALS: HISTÒRIA, PROPIETATS, OPERACIONS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Els nombres naturals són els que serveixen per comptar el nombre d'elements d'un determinat conjunt. Per exemple, són nombres naturals aquells que es fan servir per a saber quantes pomes hi ha en una caixa. També es fan servir per ordenar els elements d'un conjunt, per exemple els nens del primer grau per ordre de grandària.

En el primer cas es parla de nombres cardinals i en el segon de nombres ordinals, de fet, «primer» i «segon» són nombres naturals ordinals. Per contra un (1), dos (2) i tres (3) són nombres naturals cardinals.

Figura 1. Els nombres naturals són els que es fan servir per comptar i per ordenar. Font: Pixabay.

A més de servir per a comptar i ordenar, els nombres naturals es fan servir també com una forma d'identificació i diferenciació dels elements d'un determinat conjunt.

Per exemple, el carnet d'identitat té un nombre únic, assignat a cada persona que pertany a un determinat país.

En la notació matemàtica el conjunt dels nombres naturals es denota així:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,………}

I el conjunt dels nombres naturals amb el zero es denota d'aquesta altra manera:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,………}

En tots dos conjunts els punts suspensius indiquen que els elements segueixen consecutivament fins a l'infinit, sent la paraula infinit la forma de dir que el conjunt no té fi.

No importa el gran que pugui ser un nombre natural, sempre es pot aconseguir el següent gran.

història

Primer de apareguessin els nombres naturals, és a dir el conjunt de símbols i noms per denotar determinada quantitat, els primers humans usaven un altre conjunt de comparació, per exemple els dits de les mans.

Llavors, per dir que es van trobar amb un ramat de cinc mamuts, es valien dels dits d'una mà per simbolitzar aquesta quantitat.

Aquest sistema podia variar d'un grup humà a un altre, potser altres usaven en comptes dels dits un grup de palets, pedres, comptes de collar o nusos en una corda. Però el més segur és que empressin els dits.

Després van començar a aparèixer símbols per representar una certa quantitat. A l'començament eren marques sobre un os o un palet.

Es coneixen gravats cuneïformes en taulers d'argila, que representen símbols numèrics i que daten de l'400 abans de l'era cristiana, trobats a Mesopotàmia, que actualment és la nació de l'Iraq.

Els símbols van ser evolucionant, així els grecs i més tard els romans van usar lletres per denotar els nombres.

números aràbics

Els números aràbics són el sistema que fem servir en l'actualitat i van ser portats a Europa pels àrabs que van ocupar la península ibèrica, però realment van ser inventats a l'Índia, per la qual cosa se'ls coneix com a sistema de numeració indo-aràbic.

El nostre sistema de numeració és en base a el deu, perquè són deu els dits de les mans.

Tenim deu símbols per expressar qualsevol quantitat numèrica, un símbol per cada dit de la mà.

Aquests símbols són:

Amb aquests símbols és possible representar qualsevol quantitat usant el sistema posicional: 10 és una desena zero unitats, 13 és una desena i tres unitats, 22 dues desenes dues unitats.

Cal deixar clar que més enllà dels símbols i el sistema de numeració, els nombres naturals sempre han existit i sempre d'alguna o altra manera van ser usats pels humans.

Propietats dels nombres naturals

El conjunt dels nombres naturals és:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,………}

I amb ells es pot comptar la quantitat d'elements d'un altre conjunt o també ordenar aquests elements, si a cadascú se li assigna un nombre natural.

És infinit i numerable

El conjunt dels nombres naturals és un conjunt ordenat que té infinits elements.

No obstant això, és un conjunt numerable en el sentit que es pot saber quants elements o nombres naturals hi ha entre un nombre i un altre.

Per exemple, sabem que entre 5 i 9 hi ha cinc elements, incloent a el 5 i a el 9.

És un conjunt ordenat

A l'ésser un conjunt ordenat, es pot saber quins números estan després o abans d'un nombre donat. D'aquesta forma és possible establir, entre dos elements del conjunt dels naturals, relacions de comparació com aquestes:

7> 3 vol dir que 7 és més gran que 3

2 <11 es llegeix dos és menor que 11

Es poden agrupar (operació de suma)

3 + 2 = 5 vol dir que si s'ajunten tres elements amb dos elements es tenen cinc elements. El símbol + denota l'operació de suma.

Operacions amb nombres naturals

- Suma

1.- La suma és una operació interna, en el sentit que si es sumen dos elements del conjunt ℕ dels nombres naturals, s'obtindrà un altre element que pertany a aquest conjunt. Simbòlicament es diria així:

2.- L'operació suma sobre els naturals és commutativa, el que significa que el resultat és el mateix encara que s'inverteixin els sumands. Simbòlicament s'expressa així:

Si a ε ℕ ib ε ℕ, llavors a + b = b + a = c on c ε ℕ

Per exemple, 3 + 5 = 8 i 5 + 3 = 8, sent 8 un element dels nombres naturals.

3.- La suma de nombres naturals compleix la propietat associativa:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Un exemple ho deixarà més clar. Podem sumar així:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

I d'aquesta manera també:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Finalment, si se suma d'aquesta manera també s'arriba a el mateix resultat:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Existeix l'element neutre de la suma i aquest element és el zero: a + 0 = 0 + a = a. Per exemple:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- Resta

-El operador de la resta es denota mitjançant el símbol -. Per exemple:

5 - 3 = 2.

És important que el primer operant sigui més gran o igual (≥) que el segon operant, perquè en cas contrari l'operació resta no estaria definida en els naturals:

a - b = c, on c ε ℕ si i només si a ≥ b.

- Multiplicació

-La multiplicació es denota per a ⋅ by significa sumar a si mateix b vegades. Per exemple: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Divisió

La divisió es denota per: a ÷ by significa quantes vegades està ba a. Per exemple, 6 ÷ 2 = 3 perquè 2 està contingut en 6 tres vegades (3).

exemples

Figura 2. Els nombres naturals permeten comptar quantes pomes té una caixa. Font: pixabay

- Exemple 1

En una caixa hi ha 15 pomes, mentre que en una altra es compten 22 pomes. Si es col·loquen totes les pomes de la segona caixa en la primera quantes pomes hi haurà a la primera caixa?

Resposta

15 + 22 = 37 pomes.

- Exemple 2

Si a la caixa de 37 pomes s'extreuen 5, quantes quedaran a la caixa?

Resposta

37 - 5 = 32 pomes.

- Exemple 3

Si es tenen 5 caixes amb 32 pomes cadascuna, quantes pomes hi haurà en total?

Resposta

L'operació seria sumar 32 amb si mateix 5 vegades el que es denota així:

32 ⋅ = 32 5 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Exemple 4

Es vol dividir una caixa de 32 pomes en 4 parts. Quantes pomes contindrà cada part?

Resposta

L'operació és una divisió que es denota així:

32 ÷ 4 = 8

És a dir, es tenen quatre grups de vuit pomes cada un.

referències

1. Conjunt dels nombres naturals per cinquè grau de primària. Recuperat de: actividadeseducativas.net
2. Matemàtiques per a nens. Números naturals. Recuperat de: elhuevodechocolate.com
3. Marta. Números naturals. Recuperat de: superprof.es
4. Unprofesor. Els nombres naturals. Recuperat de: unprofesor.com
5. wikipedia. Nombre natural. Recuperat de: wikipedia.com