NOMBRES IRRACIONALS: HISTÒRIA, PROPIETATS, CLASSIFICACIÓ, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

Els nombres irracionals són aquells la expressió decimal té infinites xifres sense un patró repetitiu, per tant, no poden obtenir fent el quocient entre dos enters qualssevol.

Entre els nombres irracionals més coneguts estan:

Figura 1. De dalt a baix els següents nombres irracionals: pi, el nombre d'Euler, la raó àuria i dues arrels quadrades. Font: Pixabay.

D'entre ells, sense cap dubte π (pi) és el més familiar, però hi ha moltíssims més. Tots ells pertanyen a el conjunt dels nombres reals, que és el conjunt numèric que agrupa els nombres racionals i els irracionals.

Els punts suspensius a la figura 1 assenyalen que els decimals segueixen indefinidament, el que passa és que l'espai de les calculadores corrents només permet mostrar uns quants.

Si ens fixem acuradament, sempre que fem el quocient entre dos nombres enters, s'obté un decimal amb xifres limitades o si no és així, amb infinites xifres en les quals una o més es repeteixen. Doncs bé, això no succeeix amb els números irracionals.

Història dels nombres irracionals

El gran matemàtic de l'antiguitat Pitàgores, nascut a 582 aC a Samos, Grècia, va fundar l'escola pitagòrica de el pensament i va descobrir el famós teorema que porta el seu nom. El tenim aquí a baix a l'esquerra (pot ser que els babilonis ja ho coneguessin des de molt abans).

Figura 2. El teorema de Pitàgores aplicat a un triangle de costats iguals a 1. Font: Pixabay / Wikimedia Commons.

Doncs bé, quan Pitàgores (o probablement un deixeble seu) va aplicar el teorema a un triangle rectangle de costats iguals a 1, va trobar el nombre irracional √2.

Ho va fer d'aquesta manera:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

I immediatament es va adonar que aquest nou nombre no provenia de l'quocient entre dos nombres naturals, que eren els que es coneixien en aquell temps.

Per tant el va anomenar irracional, i el descobriment va causar gran inquietud i desconcert entre els pitagòrics.

Propietats dels nombres irracionals

-El conjunt de tots els nombres irracionals es denota amb la lletra I i en ocasions com Q * o Q ^C. La unió entre els nombres irracionals I o Q * i els nombres racionals Q, dóna origen a el conjunt dels nombres reals R.

-Amb els números irracionals poden realitzar-se les operacions aritmètiques conegudes: suma, resta, multiplicació, divisió, potenciació i més.

-La divisió entre 0 tampoc està definida entre els nombres irracionals.

-La suma i el producte entre nombres irracionals no necessàriament és un altre nombre irracional. Per exemple:

√2 x √8 = √16 = 4

I 4 no és un nombre irracional.

-No obstant, la suma d'un nombre racional més un irracional, si dóna com a resultat un irracional. D'aquesta manera:

1 + √2 = 2.41421356237…

-El producte d'un nombre racional diferent de 0 per un nombre irracional també és irracional. Vegem aquest exemple:

2 x √2 = 2.828427125…

-El invers d'un irracional resulta en un altre nombre irracional. Provem amb alguns:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Aquests números són interessants perquè també són els valors d'algunes raons trigonomètriques d'angles coneguts. Gran part de les raons trigonomètriques són nombres irracionals, però hi ha excepcions, com ara sin 30º = 0.5 = ½, que és racional.

-A la suma es compleixen les propietats commutativa i associativa. Si aib són dos nombres irracionals, això vol dir que:

a + b = b + a.

I si c és un altre nombre irracional, llavors:

(A + b) + c = a + (b + c).

-La propietat distributiva de la multiplicació respecte a la suma és una altra coneguda propietat que també es compleix per als nombres irracionals. En aquest cas:

a. (b + c) = ab + ac

-Un irracional a té el seu oposat: -a. Quan se sumen el resultat és 0:

a + (- a) = 0

-Entre dues racionals diferents, hi ha al menys un nombre irracional.

Localització d'un nombre irracional sobre la recta real

La recta real és una línia horitzontal on s'ubiquen els números reals, dels quals els irracionals són una part important.

Per trobar un nombre irracional sobre la recta real, en forma geomètrica, podem valer-nos de l'teorema de Pitàgores, un regle i un compàs.

Com a exemple anem a situar a √5 sobre la recta real, per a això dibuixem un triangle rectangle de costats x = 2 i y = 1, com es mostra a la figura:

Figura 3. Mètode per ubicar un nombre irracional sobre la recta real. Font: F. Zapata.

Pel teorema de Pitàgores, la hipotenusa d'aquest triangle és:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Ara es col·loca el compàs amb la punta a 0, on també hi ha un dels vèrtexs de el triangle rectangle. La punta de l'llapis de el compàs ha d'estar en el vèrtex A.

Es traça un arc de circumferència que talli a la recta real. Com la distància entre el centre de la circumferència i qualsevol punt de la mateixa és el radi, el qual val √5, el punt d'intersecció també dista √5 de centre.

De la gràfica es veu que √5 està comprès entre 2 i 2.5. Una calculadora ens ofereix el valor aproximat de:

√5 = 2.236068

I així, construint un triangle amb els costats apropiats, es poden ubicar altres irracionals, com ara √7 i altres.

Classificació dels nombres irracionals

Els nombres irracionals es classifiquen en dos grups:

-Algebraicos

-Trascendentes o transcendentals

números algebraics

Els nombres algebraics, que poden ser irracionals o no, són solucions d'equacions polinomials la forma general és:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Un exemple d'equació polinomial és una equació de segon grau com aquesta:

x ³ - 2x = 0

És fàcil demostrar que el nombre irracional √2 és una de les solucions d'aquesta equació.

números transcendents

En canvi, els números transcendents, encara que són irracionals, mai sorgeixen com a solució d'una equació polinomial.

Els nombres transcendents trobats amb major freqüència en les matemàtiques aplicades són π, per la seva relació amb la circumferència i el nombre e, o nombre d'Euler, que és la base dels logaritmes neperians.

exercici

Sobre un quadrat negre es col·loca un de gris en la posició assenyalada a la figura. Se sap que la superfície de l'quadrat negre és 64 cm ². Quant valen les longituds de tots dos quadrats?

Figura 4. Dos quadrats, dels quals es vol trobar la longitud dels costats. Font: F. Zapata.

Resposta

La superfície d'un quadrat de costat L és:

A = L ²

Com el quadrat negre té 64 cm ² d'àrea, el seu costat ha de ser 8 cm.

Aquesta mesura és la mateixa que la diagonal d'el quadrat gris. Aplicant el teorema de Pitàgores a aquesta diagonal, i recordant que els costats d'un quadrat mesuren el mateix, tindrem:

8 ² = L _g ² + L _g ²

On L _g és el costat de l'quadrat gris.

Per tant: 2L _g ² = 8 ²

Aplicant arrel quadrada a banda i banda de la igualtat:

L _g = (8 / √2) cm

referències

1. Carena, M. 2019. Manual de Matemàtica Preuniversitaria. Universitat Nacional d'el Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matemàtica 9pas. Grau. edicions CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
4. Portal Educatiu. Els nombres irracionals i les seves propietats. Recuperat de: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Nombres irracionals. Recuperat de: es.wikipedia.org.