NÚMEROS IMAGINARIS: PROPIETATS, APLICACIONS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

Els nombres imaginaris són aquells que donen solució a l'equació en la qual la incògnita, elevada a el quadrat, és igual a un nombre real negatiu. La unitat imaginària és i = √ (-1).

En l'equació: z ² = - a, z és un nombre imaginari que s'expressa de la següent manera:

z = √ (-a) = i√ (a)

Sent a un nombre real positiu. Si a = 1, llavors z = i, on i és la unitat imaginària.

Figura 1. Plànol complex mostrant alguns números reals, alguns nombres imaginaris i alguns nombres complexos. Font: F. Zapata.

En general un nombre imaginari pur z s'expressa sempre de la forma:

z = y⋅i

On i és un nombre real ii és la unitat imaginària.

Així com els nombres reals es representen en una recta, anomenada la recta real, de forma anàloga els números imaginaris es representen sobre la recta imaginària.

La recta imaginària sempre és ortogonal (forma 90º) a la recta real i les dues rectes defineixen un pla cartesià anomenat el pla complex.

A la figura 1 es mostra el pla complex i sobre ell es representen alguns números reals, alguns nombres imaginaris i també alguns nombres complexos:

X ₁, X ₂, X ₃ són nombres reals

I ₁, I ₂, I ₃ són nombres imaginaris

Z ₂ i Z ₃ són nombres complexos

El nombre O és el zero real i també és el zero imaginari, de manera que l'origen O és el zero complex expressat per:

0 + 0i

propietats

El conjunt dels nombres imaginaris es denota per:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - I,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i,……}

I es poden definir algunes operacions sobre aquest conjunt numèric. No sempre s'obté un nombre imaginari a partir d'aquestes operacions, així que anem a veure-les amb una mica més de detalls:

Suma i resta d'imaginaris

Els nombres imaginaris poden sumar-se i restar entre si i com a resultat es tindrà un nou número imaginari. Per exemple:

3i + 2i = 5i

4i - 7I = -3i

Producte d'imaginaris

Quan s'efectua el producte d'un nombre imaginari amb un altre, el resultat és un nombre real. Fem la següent operació per comprovar-ho:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

I com veiem, el -6 és un nombre real, encara que s'hagi obtingut multiplicant dos nombres imaginaris purs.

Producte d'un nombre real per un altre imaginari

Si es multiplica un nombre real per i, el resultat serà un nombre imaginari, que correspon a una rotació de 90 graus en sentit antihorari.

I és que i ² correspon a dos rotacions consecutives de 90 graus, que és equivalent a multiplicar per -1, és a dir i ² = -1. Es pot apreciar en el següent diagrama:

Figura 2. La multiplicació per la unitat imaginària i correspon a rotacions de 90º en sentit antihorari. Font: wikimedia commons.

Per exemple:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Potenciació d'un imaginari

Es pot definir la potenciació d'un nombre imaginari a un exponent sencer:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

En general s'ha de i ⁿ = i ^ (n mod 4), on mod és el residu de la divisió entre ni 4.

També pot realitzar-se la potenciació d'enters negatius:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

En general el nombre imaginari b⋅i elevat a la potència n és:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Alguns exemples són els següents:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244.140.625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48.828.125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1.024

Suma d'un nombre real i un imaginari

Quan es suma un nombre real amb un d'imaginari, el resultat no és ni real ni imaginari, és un nou tipus de nombre anomenat nombre complex.

Per exemple, si X = 3,5 i I = 3,75i, llavors el resultat és el nombre complex:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Noti que en la suma no poden agrupar les parts real i imaginàries, per això un nombre complex sempre tindrà una part real i una altra part imaginària.

Aquesta operació estén el conjunt dels nombres reals a el més ampli dels nombres complexos.

aplicacions

El nom de nombres imaginaris ho va proposar el matemàtic francès René Descartes (1596-1650) com una burla o desacord amb la proposta dels mateixos feta pel matemàtic italià de segle Raffaelle Bombelli.

Altres grans matemàtics, com Euler i Leibniz, van secundar a Descartes en aquest desacord i van denominar als nombres imaginaris com números amfibis, que es debatien entre l'ésser i el no-res.

El nom de nombres imaginaris es manté avui dia, però la seva existència i importància és molt real i palpable, ja que apareixen en forma natural en molts camps de la física com el són:

-La teoria de la relativitat.

-En l'electromagnetisme.

-La mecànica quàntica.

Exercicis amb nombres imaginaris

- Exercici 1

Trobar les solucions de l'equació següent:

z ² + 16 = 0

solució

z ² = -16

Prenent arrel quadrada en els dos membres es té:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

És a dir que les solucions de l'equació original són:

z = + 4i oz = -4i.

- Exercici 2

Trobar el resultat d'elevar la unitat imaginària a la potència 5 menys la resta la unitat imaginària elevada a la potència -5.

solució

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - a / (- 1) = i + i = 2i

- Exercici 3

Trobar el resultat de la següent operació:

(3i) ³ + 9i

solució

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Exercici 4

Trobar les solucions de l'equació quadràtica:

(-2x) ² + 2 = 0

solució

Es reordena l'equació de la següent manera:

(-2x) ² = -2

Seguidament es pren arrel quadrada en els dos membres

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Després es buida x per finalment obtenir:

x = ± √2 / 2 i

És a dir, hi ha dues solucions possibles:

x = (√2 / 2) i

O bé aquesta altra:

x = - (√2 / 2) i

- Exercici 5

Trobar el valor de Z definit per:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

solució

Sabem que l'arrel quadrada d'un nombre real negatiu és un nombre imaginari, per exemple √ (-9) és igual a √ (9) x √ (-1) = 3i.

D'altra banda, √ (-4) és igual a √ (4) x √ (-1) = 2i.

De manera que l'equació original pot substituir-se per:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Exercici 6

Trobar el valor de Z resultant de la següent divisió de dos nombres complexos:

Z = (9 - i ²) / (3 + I)

solució

El numerador de l'expressió pot factorizarse usant la propietat següent:

llavors:

Z = / (3 + I)

A continuació es simplifica l'expressió resultant quedant

Z = (3 - i)

referències

1. Earl, R. Complex numbers. Recuperat de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matemàtica 1ro. Diversificat. edicions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecció de temes de Matemàtica. Publicacions Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Imaginary number. Recuperat de: en.wikipedia.org