NOMBRES ENTERS: PROPIETATS, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2026

Els nombres enters constitueixen un conjunt de nombres útils per comptar els objectes complets que es tenen i els que no tenen. També per explicar els que estan a un costat i a l'altre de cert lloc de referència.

També amb els nombres enters es pot dur a terme la resta o diferència entre un nombre i un altre més gran que ell, quedant assentat el resultat com un deute, per exemple. La distinció entre guanys i deutes es fan amb signes + i - respectivament.

Figura 1. La recta numèrica per als nombres enters. Font: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Per això el conjunt dels nombres enters inclou als següents:

-Enteros positius, que s'escriuen precedits d'un signe +, o simplement sense el signe, ja que igualment s'entén que són positius. Per exemple: +1, +2, +3… i així successivament.

-El 0, en el qual el signe és irrellevant, doncs tant se val sumar que restar d'alguna quantitat. Però el 0 és molt important, ja que és la referència per als enters: a un costat se situen els positius i a l'altre els negatius, com veiem a la figura 1.

-Enteros negatius, que sempre s'han d'escriure precedits d'el signe -, ja que amb ells es distingeixen les quantitats com els deutes i totes les que estan a l'altre costat de la referència. Exemples d'enters negatius són: -1, -2, -3… i d'allí en endavant.

Com es representen els nombres enters?

A l'començament representem als nombres enters amb la notació de conjunt: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…}, és a dir, llistats i ordenats. Però una representació molt útil és la que empra la recta numèrica. Per a això es requereix dibuixar una recta, que en general és horitzontal, sobre la qual es marca el 0 i es divideix en trams idèntics:

Figura 2. Representació dels nombres enters en la recta numèrica. De el 0 a la dreta hi ha els enters positius i de el 0 a l'esquerra els negatius. Font: F. Zapata.

Els negatius van a l'esquerra el 0 i els positius van a la dreta. Les fletxes a la recta numèrica simbolitzen que els números prossegueixen fins a infinit. Donat un nombre enter qualsevol, sempre és possible trobar un que sigui més gran o un altre que sigui menor.

El valor absolut d'un nombre enter

El valor absolut d'un nombre enter és la distància que hi ha entre el nombre i el 0. I les distàncies sempre són positives. Per tant el valor absolut de l'enter negatiu és el nombre sense el seu signe menys.

Per exemple, el valor absolut de -5 és 5. El valor absolut es denota amb barres, de la següent manera:

--5- = 5

Per visualitzar-n'hi ha prou amb comptar els espais a la recta numèrica, des del -5 fins al 0. Mentre que el valor absolut d'un sencer positiu és el mateix número, per exemple - + 3- = 3, ja que la seva distància a l'0 és de 3 espais:

Figura 3. El valor absolut d'un nombre enter sempre és una quantitat positiva. Font: F. Zapata.

propietats

-El conjunt dels nombres enters es denota com Z i inclou a el conjunt dels nombres naturals N, sent infinits seus elements.

-Un nombre enter i el que el segueix (o el que el precedeix) es diferencien sempre en la unitat. Per exemple, després de el 5 ve el 6, sent 1 la diferència entre ells.

-Tot nombre enter té un predecessor i un successor.

Qualsevol nombre enter positiu és més gran que el 0.

-Un nombre enter negatiu sempre és menor que el 0 i que qualsevol nombre positiu. Prenguem per exemple el nombre -100, aquest és menor que 2, que 10 i que 50. Però també és menor que -10, -20 i -99 i és més gran que -200.

-El 0 no té consideracions de signe, ja que no és negatiu ni positiu.

-Amb els números sencers es poden dur a terme les mateixes operacions que es realitzen amb els números naturals, que són: suma, resta, multiplicació, potenciació i més.

-El sencer oposat a cert enter x, és -xi la suma d'un sencer amb el seu oposat és 0:

x + (-x) = 0.

Operacions amb nombres enters

- Suma

-Si els números a sumar tenen el mateix signe, se sumen els valors absoluts i a el resultat se li col·loca el signe que tinguin els sumands. Aquí hi ha alguns exemples:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-En cas que els números siguin de diferent signe, es resten els valors absoluts (el més gran de el menor) i a l'resultat se li col·loca el signe de el número amb major valor absolut, de la següent manera:

a) (-8) + (21) = 21-8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Propietats de la suma dels nombres enters

-La suma és commutativa, per tant l'ordre dels sumands no altera la suma. Siguin aib dos nombres sencers, es compleix que a + b = b + a

-El 0 és l'element neutre de la suma de nombres enters: a + 0 = a

Qualsevol nombre enter sumat amb el seu oposat és 0. L'oposat d'+ a és -a, i al revés, l'oposat de -a és + a. Per tant: (+ a) + (-a) = 0.

Figura 2. Regla dels signes per a la suma de nombres enters. Font: Wikimedia Commons.

- Resta

Per restar nombres enters cal guiar-se per aquesta regla: la resta equival a la suma d'un nombre amb el seu oposat. Siguin dos nombres aib, llavors:

a - b = a + (-b)

Per exemple, suposem que es necessita fer la següent operació: (-3) - (+7), llavors:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplicació

La multiplicació de nombres enters segueix certes regles per als signes:

-El producte de dos nombres amb igual signe sempre és positiu.

-Quan es multipliquen dos nombres de signes diferents, el resultat sempre és negatiu.

-El valor del producte és igual a multiplicar els respectius valors absoluts.

Immediatament alguns exemples que aclareixen l'abans dit:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Propietats de la multiplicació dels nombres enters

-La multiplicació és commutativa. Siguin dos nombres enters a i b, es compleix que: ab = ba, el que igualment es pot expressar com:

-El element neutre de la multiplicació és l'1 Sigui a un nombre sencer, per tant a.1 = 1

Qualsevol sencer multiplicat per 0 és igual a 0: A.0 = 0

La propietat distributiva

La multiplicació compleix amb la propietat distributiva respecte de la suma. Si a, bic són nombres enters llavors:

a. (b + c) = ab + ac

Seguidament un exemple de com aplicar aquesta propietat:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

potenciació

-Si la base és positiva, el resultat de l'operació sempre és positiu.

-Quan la base és negativa, si l'exponent és parell, el resultat és positiu. i si l'exponent és imparell, el resultat és negatiu.

- Divisió

En la divisió s'apliquen les mateixes regles de signes que en la multiplicació:

-Al dividir dos nombres sencers de el mateix signe, el resultat sempre és positiu.

-Quan es divideixen dos enters de signes diferents, el quocient és negatiu.

Per exemple:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Important: la divisió no és commutativa, en altres paraules a ÷ b ≠ b ÷ ai com sempre, la divisió entre 0 no està permesa.

- Potenciació

Sigui a un nombre sencer i volem elevar-lo a un exponent n, llavors hem de multiplicar a per si mateix n vegades, tal com es mostra a continuació:

a ⁿ = aaaa……a

A més considerem el següent, tenint en compte que n és un nombre natural:

-Si a és negatiu i n és parell, el resultat és positiu.

-Quan a és negativa i n és imparell, dóna com a resultat un nombre negatiu.

-Si a és positiu i n és parell o imparell, sempre resulta un enter positiu.

Qualsevol nombre enter elevat a la 0 és igual a 1: a ⁰ = 1

-Tot nombre elevat a la 1 és igual a el nombre: a ¹ = a

Posem per exemple que es vol trobar (-3) ⁴, per fer-ho multipliquem (-3) quatre vegades per si mateix, així: (-3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Un altre exemple, també amb un enter negatiu és:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Producte de potències de la mateixa base

Suposem dues potències de la mateixa base, si les multipliquem obtenim una altra potència amb la mateixa base, l'exponent és la suma dels exponents donats:

a ⁿ · a ^m = a ^{n + m}

Quocient de potències de la mateixa base

A l'dividir potències de la mateixa base, el resultat és una potència amb la mateixa base, l'exponent és la resta dels exponents donats:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

De seguida dos exemples que aclareixen aquests punts:

(-2) ³. (- 2) ^maig = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

exemples

Vegem exemples senzills per aplicar aquestes regles, recordant que en el cas dels enters positius, es pot prescindir d'el signe:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

exercicis resolts

- Exercici 1

Una formiga es desplaça sobre la recta numèrica de la figura 1. Partint de el punt x = + 3 realitza els següents desplaçaments:

-Es mou 7 unitats cap a la dreta

-Ara es torna 5 unitats a l'esquerra

-Camina 3 unitats més cap a l'esquerra.

-Es torna i es mou 4 unitats a la dreta.

En quin punt es troba la formiga a l'acabar el recorregut?

solució

Cridem D als desplaçaments. Quan són a la dreta se'ls dóna signe positiu i quan són a l'esquerra signe negatiu. D'aquesta manera, i partint de x = + 3 es té:

-Primer D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Segon D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Tercer D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Quart D: x ₄ = +2 +4 = + 6

Quan la formiga acaba el seu passeig es troba en la posició x = + 6. És a dir, es troba a 6 unitats a la dreta el 0 sobre la recta numèrica.

- Exercici 2

Resoldre la següent operació:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

solució

Aquesta operació conté signes d'agrupació, que són els parèntesis, els claudàtors i les claus. A l'hora de resoldre, cal encarregar-se en primer lloc dels parèntesis, després dels claudàtors i finalment de les claus. En altres paraules, cal treballar des de dins cap a fora.

En aquest exercici, el punt representa una multiplicació, però en cas que entre un nombre i un parèntesi o un altre símbol no existeixi el punt, d'igual manera s'entén que és un producte.

A continuació la resolució pas a pas, els colors serveixen de guia per seguir el resultat de la reducció dels parèntesis, que són els símbols d'agrupació més interns:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Exercici 3

Resoldre l'equació de primer grau:

12 + x = 30 + 3x

solució

S'agrupen els termes amb la incògnita a l'esquerra de la igualtat, i els termes numèrics a la dreta:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

referències

1. Carena, M. 2019. Manual de Matemàtica Preuniversitaria. Universitat Nacional d'el Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matemàtica 7mo Grau. edicions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecció de temes de Matemàtica. Publicacions Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Els nombres enters. Recuperat de: cimanet.uoc.edu.