NOMBRES COMPLEXOS: PROPIETATS, EXEMPLES, OPERACIONS - MATEMÀTIQUES - 2025

Els nombres complexos són el conjunt numèric que abasta als nombres reals ia totes les arrels dels polinomis, incloent les arrels parells dels nombres negatius. Aquestes arrels no existeixen en el conjunt dels nombres reals, però en els nombres complexos hi ha la solució.

Un nombre complex consta d'una part real i una altra denominada "imaginària". A la part real es la flama a, per exemple, i la part imaginària ib, amb aib nombres reals i "i" com la unitat imaginària. D'aquesta forma el nombre complex pren la forma:

Figura 1.- Representació binomial d'un nombre complex en termes de part real i part imaginària. Font: Pixabay.

Exemples de nombres complexos son 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Però abans d'operar amb ells, anem a veure d'on s'origina la unitat imaginària i, considerant aquesta equació quadràtica:

x ² - 10x + 34 = 0

En la qual a = 1, b = -10 ic = 34.

Quan s'aplica la fórmula resolvent per determinar la solució, ens trobem amb el següent:

Com determinar el valor de √-36? No hi ha un nombre real que elevat a el quadrat resulti una quantitat negativa. Llavors es conclou que aquesta equació no té solucions reals.

No obstant això, podem escriure això:

√-36 = √6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Si definim un cert valor x tal que:

x ² = -1

llavors:

x = ± √-1

I l'equació anterior tindria solució. Per això es va definir la unitat imaginària com:

i = √-1

I així:

√-36 = 6i

Molts matemàtics de l'antiguitat van treballar en resoldre problemes similars, destacant els renaixentistes Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) i Raffaele Bombelli (1526-1572).

Anys més tard René Descartes (1596-1650) va denominar "imaginàries" a les quantitats com la √-36 de l'exemple. Per aquest motiu a la √-1 se la coneix com la unitat imaginària.

Propietats dels nombres complexos

-El conjunt dels nombres complexos es denota com C i inclou als nombres reals R i als nombres imaginaris Im. Els conjunts numèrics es representen en un diagrama de Venn, com es mostra en la següent figura:

Figura 2. Diagrama de Venn dels conjunts numèrics. Font: F. Zapata.

-Tot nombre complex consta d'una part real i una altra part imaginària.

-Quan la part imaginària d'un nombre complex és 0, es tracta d'un nombre real pur.

-Si la part real d'un nombre complex és 0, llavors el nombre és imaginari pur.

-Dos nombres complexos són iguals si les seves respectives part real i part imaginària són les mateixes.

-Amb els nombres complexos es realitzen les operacions conegudes de sumes, resta, multiplicació, producte i potenciació, donant com a resultat un altre nombre complex.

Representació dels nombres complexos

Els nombres complexos es poden representar de diverses maneres. Heus aquí les principals:

- Forma binòmica

És la forma donada a el principi, on z és el nombre complex, a és la part real, b és la part imaginària ii és la unitat imaginària:

O també:

Una forma de representar gràficament a el nombre complex és a través de el pla complex que es mostra en aquesta figura. L'eix imaginari Im és vertical, mentre que l'eix real és horitzontal i es denota com Re.

El nombre complex z es representa en aquest pla com un punt de coordenades (x, y) o (a, b), tal com es fa amb els punts de l'plànol real.

La distància des de l'origen a el punt z és el mòdul de l'nombre complex, denotat com r, mentre que φ és l'angle que forma r amb l'eix real.

Figura 3. Representació d'un nombre complex en el pla complex. Font: Wikimedia Commons.

Aquesta representació guarda estreta relació amb la dels vectors en el pla real. El valor de r correspon a el mòdul de l'nombre complex.

- Forma polar

La forma polar consisteix a expressar el nombre complex donant els valors de ri de φ. Si ens fixem en la figura, el valor de r correspon a la hipotenusa d'un triangle rectangle. Els catets valen aib, o bé xiy.

De la forma binòmica o binomial, podem passar a la forma polar mitjançant:

L'angle φ és el que forma el segment r amb l'eix horitzontal o eix imaginari. Se li coneix com a argument de l'nombre complex. D'aquesta manera:

L'argument té infinits valors, tenint en compte que cada vegada que es gira una volta, la qual val 2π radiants, r torna a ocupar la mateixa posició. D'aquesta manera en general, l'argument de z, denotat Arg (z), s'expressa així:

On k és sencer i serveix per a indicar la quantitat de voltes girades: 2, 3, 4…. El signe assenyala el sentit de el gir, si es fa horari o antihorari.

Figura 4. Representació polar d'un nombre complex en el pla complex. Font: Wikimedia Commons.

I si volem passar de la forma polar a la forma binomial, fem servir les raons trigonomètriques. De la figura anterior podem veure que:

x = r cos φ

i = r sin φ

D'aquesta forma z = r (cos φ + i sin φ)

Que s'abreuja així:

z = r cis φ

Exemples de nombres complexos

Els següents nombres complexos estan donats en forma binomial:

a) 3 + I

b) 4

d) -6i

I aquests en forma de parell ordenat:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Finalment, aquest grup ve donat en forma polar o trigonomètrica:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Per a què serveixen?

La utilitat dels nombres complexos va més enllà de la resolució de l'equació de segon grau mostrada a l'començament, ja que són imprescindibles en el camp de l'enginyeria i de la física, sobretot en:

-El estudi de les ones electromagnètiques

Anàlisi del corrent i el voltatge alterns

-La modelització de tota mena de senyals

Teoria de la relativitat, on el temps s'assumeix com una magnitud imaginària.

Operacions amb nombres complexos

Amb els nombres complexos podem realitzar totes les operacions que es fan amb els reals. Algunes són més fàcils de fer si els números vénen en forma binòmica, com ara la suma i la resta. En canvi, la multiplicació i la divisió són més simples si es duen a terme amb la forma polar.

Vegem alguns exemples:

- Exemple 1

Sumar z ₁ = 2 + 5i yz ₂ = -3 -8i

solució

Se sumen les parts reals per separat de les parts imaginàries:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exemple 2

Multiplicar z ₁ = 4 cis 45º i z ₂ = 5 cis 120º

solució

Es pot demostrar que el producte de dos nombres complexos en forma polar o trigonomètrica ve donat per:

z ₁. z ₂ = r ₁ a; ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

D'acord a això:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

aplicació

Una aplicació senzilla dels nombres complexos és trobar totes les arrels d'una equació polinòmica com la que es mostra a el principi de l'article.

En el cas de l'equació x ² - 10x + 34 = 0, a l'aplicar la fórmula resolvent s'obté:

Per tant les solucions són:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

referències

1. Earl, R. Complex numbers. Recuperat de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matemàtica 1ro. Diversificat. edicions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecció de temes de Matemàtica. Publicacions Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Complex numbers. Recuperat de: en.wikipedia.org