NOMBRE D'EULER O NOMBRE E: QUANT VAL, PROPIETATS, APLICACIONS - MATEMÀTIQUES - 2025

El nombre d'Euler o nombre i és una coneguda constant matemàtica que apareix amb freqüència en nombroses aplicacions científiques i econòmiques, juntament amb el nombre π i altres números importants en matemàtica.

Una calculadora científica dóna el següent valor per al número e:

Figura 1. El nombre d'Euler apareix freqüentment en Ciència. Font: F. Zapata.

i = 2.718281828…

Però es coneixen molts més decimals, per exemple:

i = 2.71828182845904523536…

I les computadores modernes han permès trobar trilions de decimals per al nombre e.

Es tracta d'un nombre irracional, la qual cosa vol dir que té una quantitat infinita de decimals sense cap patró repetitiu (la seqüència 1828 apareix dues vegades a el principi i ja no es repeteix més).

I també vol dir que el nombre i no pot obtenir-se com el quocient de dos nombres enters.

història

El nombre i va ser identificat pel científic Jacques Bernoulli en 1683 quan estudiava el problema de l'interès compost, però amb anterioritat havia aparegut de forma indirecta en els treballs de l'matemàtic escocès John Napier, qui va inventar els logaritmes cap a 1618.

No obstant això, va ser Leonhard Euler en 1727 qui li va donar el nom de nombre ei estudiar intensivament les seves propietats. Per això també se'l coneix com el nombre d'Euler i també com a base natural per als logaritmes neperians (un exponent) usats actualment.

Quant val el nombre i?

El nombre i val:

i = 2.71828182845904523536…

Els punts suspensius signifiquen que hi ha una quantitat infinita de decimals i de fet, amb els ordinadors actuals es coneixen milions d'ells.

Representacions de el nombre i

Hi ha diverses formes de definir ae que descrivim tot seguit:

El nombre i com un límit

Una de les diverses formes en què s'expressa el nombre e és la que el científic Bernoulli va trobar en els seus treballs sobre l'interès compost:

En la qual cal fer a la valor n un nombre molt gran.

És fàcil comprovar, amb ajuda d'una calculadora, que quan n és molt gran, l'expressió anterior tendeix a la valor d'e donat més amunt.

És clar que podem preguntar-nos què tan gran pot fer-se n, així que provem amb nombres rodons, com aquests per exemple:

n = 1000; 10.000 o 100.000

En el primer cas s'obté i = 2.7169239…. En el segon i = 2.7181459… i en el tercer s'acosta molt més a la valor d'e: 2.7182682. Ja ens podem figurar que amb n = 1.000.000 o més grans, l'aproximació serà encara millor.

En llenguatge matemàtic, el procediment de fer que n s'acosti cada vegada més a un valor molt gran, es diu límit a l'infinit i es denota així:

Per denotar a l'infinit s'utilitza el símbol «∞».

El nombre i com una sumatòria

També és possible definir a el nombre i mitjançant aquesta operació:

Les xifres que apareixen en el denominador: 1, 2, 6, 24, 120… corresponen a l'operació n !, on:

I per definició 0! = 1.

És fàcil comprovar que com més sumands s'agreguin, amb més precisió s'arriba a el nombre e.

Fem algunes proves amb la calculadora, afegint cada vegada més sumands:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Com més termes s'agreguin a la sumatòria, més s'assembla el resultat ae.

Els matemàtics van idear una notació compacta per aquestes sumes que involucren molts termes, utilitzant el símbol de sumatori Σ:

Aquesta expressió es llegeix així "sumatori des de n = 0 fins a infinit d'1 entre n factorial".

El nombre i des del punt de vista geomètric

El nombre i té una representació gràfica relacionada amb l'àrea sota la gràfica de la corba:

i = 1 / x

Quan els valors de x estan compresos entre 1 i e, aquesta àrea val 1, com es mostra a la següent figura:

Figura 2. Representació gràfica de el nombre i: l'àrea sota la corba 1 / x, entre x = 1 ix = i val 1. Font: F. Zapata.

Propietats de el nombre i

Algunes de les propietats de l'nombre i són:

-És irracional, en altres paraules, no es pot obtenir simplement dividint dos nombres enters.

-El nombre i també és un nombre transcendent, el que vol dir que i no és solució de cap equació polinomial.

-Està relacionat amb altres quatre números famosos en l'àmbit de les matemàtiques, que són: π, i, 1 i 0, a través de la identitat d'Euler:

-Els anomenats nombres complexos poden expressar-se a través d'e.

-Constitueix la base dels logaritmes naturals o neperians de l'actualitat (la definició original de John Napier difereix una mica).

-És l'únic nombre tal que el seu logaritme neperià val 1, és a dir:

aplicacions

Estadística

El nombre i apareix amb molta freqüència en el camp de la probabilitat i l'estadística, apareixent en diverses distribucions, com la normal o gaussiana, la de Poisson i altres.

Enginyeria

En enginyeria és freqüent, ja que la funció exponencial i = i ^x és present en mecànica i electromagnetisme, per exemple. Entre les moltes aplicacions podem citar:

-Un cable o cadena que penja subjecte pels extrems, adopta la forma de la corba donada per:

i = (i ^x + i ^-x) / 2

-Un condensador C inicialment descarregat, que es connecta en sèrie a una resistència R i una font de voltatge V per carregar, adquireix una certa càrrega Q en funció de el temps t donada per:

Q (t) = CV (1-i ^{-t / RC})

Biologia

La funció exponencial i = Ae ^Bx, amb A i B constants, s'utilitza per modelar el creixement de les cèl·lules i el creixement bacterià.

física

En física nuclear es modela el decaïment radioactiu i la determinació d'edats mitjançant datat per radiocarboni.

Economia

En el càlcul de l'interès compost el nombre i sorgeix de manera natural.

Suposem que es té una certa quantitat de diners P _o, per invertir-a una taxa d'interès de l'i% anual.

Si es deixa els diners durant 1 any, a el cap d'aquest temps es tindrà:

Després d'un altre any sense tocar-lo, es tindrà:

I seguint d'aquesta manera per n anys:

Ara recordem una de les definicions d'e:

S'assembla una mica a l'expressió per a P, així que ha d'haver una relació.

Anem a repartir la taxa d'interès nominal i en n períodes de temps, d'aquesta manera la taxa d'interès compost serà i / en:

Aquesta expressió s'assembla una mica més al nostre límit, però encara no és exactament igual.

No obstant això, després d'algunes manipulacions algebraiques es pot demostrar que fent aquest canvi de variable:

Els nostres diners P es transforma en:

I el que està entre les claus, encara que estigui escrit amb la lletra h, és igual a l'argument el límit que defineix a el nombre i, faltant només prendre el límit.

Fem h → ∞, i el que està entre les claus es transforma en el nombre e. Això no vol dir que hàgim d'esperar un temps infinitament gran per retirar els nostres diners.

Si ens fixem bé, a l'fer h = n / ii tendint a ∞, el que hem fet en realitat és repartir la taxa d'interès en períodes de temps molt, molt petits:

i = n / h

Això es diu capitalització contínua. En aquest cas la quantitat de diners es calcula fàcilment així:

On i és la taxa d'interès anual. Per exemple, a l'dipositar 12 € a el 9% anual, mitjançant capitalització contínua, a el cap d'un any es té:

Amb un guany de 1.13 €.

referències

1. Gaudeix les matemàtiques. Interès compost: Composició periòdica. Recuperat de: disfrutalasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matemàtica 1ro. Diversificat. edicions CO-BO.
3. García, M. El nombre i en el càlcul elemental. Recuperat de: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Càlcul d'una variable. 9na. Edició. McGraw Hill.