- La grandària de la mostra
- Cas 1: no es coneix la mida de la població
- Nivells de confiança i els seus corresponents valors Z
- Cas 2: la mida de la població és conegut
- exemples
- Enquestes i qüestionaris
- Control de qualitat
- avantatges
- desavantatges
- exercici resolt
- solució
- referències
El mostreig aleatori és la forma de seleccionar una mostra estadísticament representativa a partir d'una població donada. Part de el principi que tot element de la mostra ha de tenir la mateixa probabilitat de ser seleccionat.
Un sorteig és un exemple de mostreig aleatori, en el qual a cada membre de la població de participants se li assigna un nombre. Per triar els números corresponents als premis de l'sorteig (la mostra) es fa servir alguna tècnica aleatòria, per exemple extreure d'una bústia els números que van ser anotats en targetes idèntiques.
Figura 1. En el mostreig aleatori la mostra s'extreu de la població a l'atzar mitjançant alguna tècnica que asseguri que tots els elements tinguin la mateixa probabilitat de ser elegits. Font: netquest.com.
En el mostreig aleatori és fonamental triar en forma adequada la mida de la mostra, perquè una mostra no representativa de la població, pot conduir a conclusions errades, a causa de fluctuacions estadístiques.
La grandària de la mostra
Existeixen fórmules per determinar la mida adequada d'una mostra. El factor més important a considerar és si es coneix o no la mida de la població. Vegem les fórmules per determinar la mida de la mostra:
Cas 1: no es coneix la mida de la població
Quan la mida N de la població és desconeguda, és possible seleccionar una mostra de mida n adequat, per determinar si certa hipòtesi és vertadera o falsa.
Per a això s'empra la següent fórmula:
on:
-p és la probabilitat que la hipòtesi sigui certa.
-q és la probabilitat que no ho sigui, per tant q = 1 - p.
-I és el marge relatiu d'error, per exemple un error de 5% té un marge E = 0,05.
-Z té a veure amb el nivell de confiança requerit per l'estudi.
En una distribució normal tipificada (o normalitzada), un nivell de confiança del 90% té Z = 1,645, perquè la probabilitat que el resultat estigui comprès entre -1,645σ i + 1,645σ és de l'90%, on σ és la desviació estàndard.
Nivells de confiança i els seus corresponents valors Z
1.- 50% de nivell de confiança correspon a Z = 0,675.
2.- 68.3% de nivell de confiança correspon a Z = 1.
3.- 90% de nivell de confiança equival a Z = 1,645.
4.- 95% de nivell de confiança es correspon amb Z = 1,96
5.- 95,5% de nivell de confiança es correspon amb Z = 2.
6.- 99,7% de nivell de confiança és equivalent a Z = 3.
Un exemple en el qual pot aplicar-se aquesta fórmula seria en un estudi per determinar el pes mitjà dels còdols d'una platja.
Clarament no és possible estudiar i tot tots els còdols de la platja, de manera que convé extreure una mostra el més aleatòria possible i amb el nombre d'elements adequat.
Figura 2. Per estudiar les característiques dels còdols d'una platja cal triar una mostra aleatòria amb un nombre representatiu dels mateixos. (Font: pixabay)
Cas 2: la mida de la població és conegut
Quan el nombre N d'elements que componen certa població (o univers) és conegut, si es vol seleccionar per mostreig aleatori simple una mostra de mida n estadísticament significativa, aquesta és la fórmula:
on:
-Z és el coeficient associat a el nivell de confiança.
-p és la probabilitat d'èxit de la hipòtesi.
-q és la probabilitat de fracàs en la hipòtesi, p + q = 1.
-N és la mida de la població total.
-I és l'error relatiu de l'resultat de l'estudi.
exemples
La metodologia per extreure les mostres depèn molt de l'tipus d'estudi que es requereixi fer. Per això el mostreig aleatori té infinitat d'aplicacions:
Enquestes i qüestionaris
Per exemple en enquestes telefòniques, es trien les persones a ser consultades mitjançant un generador de nombres aleatoris, aplicable a la regió en estudi.
Si es vol aplicar un qüestionari als empleats d'una empresa gran, llavors es pot recórrer a la selecció dels enquestats a través del seu número d'empleat, o número de carnet d'identitat.
Aquest nombre ha de triar-també de forma aleatòria, usant per exemple un generador de nombres a l'atzar.
Figura 3. Un qüestionari pot aplicar seleccionant aleatòriament als participants. Font: Pixabay.
Control de qualitat
En el cas que l'estudi sigui sobre les peces fabricades per una màquina, s'han d'elegir peces en forma aleatòria, però de lots fabricats en diferents moments del dia, o en dies o setmanes diferents.
avantatges
El mostreig aleatori simple:
- Permet disminuir els costos d'un estudi estadístic, pel fet que no cal estudiar la població total per obtenir resultats estadísticament fiables, amb els nivells de confiança desitjats i el nivell d'error requerit en l'estudi.
- Evita el biaix: com l'elecció dels elements a ser estudiats és completament a l'atzar, l'estudi reflecteix fidelment les característiques de la població, encara que únicament es va estudiar part de la mateixa.
desavantatges
- El mètode no és adequat en els casos que es desitja conèixer les preferències en diferents grups o estrats poblacionals.
En aquest cas és preferible determinar prèviament els grups o segments sobre els quals es vol fer l'estudi. Un cop definits els estrats o grups, llavors si convé sobre cadascun d'ells aplicar el mostreig aleatori.
- És molt poc probable que s'obtingui informació sobre els sectors minoritaris, dels quals en ocasions és necessari conèixer les seves característiques.
Per exemple si es tracta de fer una campanya sobre un producte costós, cal conèixer les preferències dels sectors minoritaris més benestants.
exercici resolt
Es vol estudiar la preferència de la població per cert refresc de cola, però no hi ha cap estudi previ en aquesta població, de la qual es desconeix la seva grandària.
D'altra banda, la mostra ha de ser representativa amb un nivell de confiança mínim de el 90% i les conclusions han de tenir un error percentual de 2%.
-Com determinar la mida n de la mostra?
-Quin seria la mida de la mostra si es flexibilitza el marge d'error fins a 5%?
solució
Ja que es desconeix la mida de la població, per determinar la mida de la mostra es fa servir la fórmula donada anteriorment:
n = (Z 2 p q) / (E 2)
Suposem que hi ha igual probabilitat de preferència (p) per la nostra marca de refresc que si no preferència (q), aleshores p = q = 0,5.
D'altra banda com el resultat de l'estudi ha de tenir error percentual menor a el 2%, llavors l'error relatiu E serà 0,02.
Finalment, un valor Z = 1,645 produeix un nivell de confiança de 90%.
Resumint, es tenen els valors següents:
Z = 1,645
p = 0,5
q = 0,5
E = 0,02
Amb aquestes dades es calcula la mida mínima de la mostra:
n = (1,645 2 0,5 0,5) / (0,02 2) = 1.691,3
Això vol dir que l'estudi amb el marge d'error requerit i amb el nivell de confiança escollit, ha de tenir una mostra d'enquestats d'almenys 1692 individus, elegits mitjançant mostreig aleatori simple.
Si es passa d'un marge d'error del 2% a 5%, llavors la nova mida de la mostra és:
n = (1,645 2 0,5 0,5) / (0,05 2) = 271
Que és un nombre d'individus significativament menor. Com a conclusió, la mida de la mostra és molt sensible a l'marge d'error desitjat en l'estudi.
referències
- Berenson, M. 1985.Estadística per Administració i Economia, Conceptes i Aplicacions. Editorial Interamericana.
- Estadística. Mostreig aleatori. Pres de: enciclopediaeconomica.com.
- Estadística. Mostreig. Recuperat de: estadistica.mat.uson.mx.
- Explorable. Mostreig aleatori. Recuperat de: explorable.com.
- Moore, D. 2005. Estadística Bàsica Aplicada. 2dóna. Edició.
- Netquest. Mostreig aleatori. Recuperat de: netquest.com.
- Wikipedia. Statistical sampling. Recuperat de: en.wikipedia.org