Es té una matriu ortogonal quan aquesta matriu multiplicada per la seva transposada dóna com a resultat la matriu identitat. Si la inversa d'una matriu és igual a la traslladada llavors la matriu original és ortogonal.
Les matrius ortogonals tenen com a característica que el nombre de files és igual a el nombre de columnes. A més, els vectors fila són vectors ortogonals unitaris i els vectors fila de la transposada també ho són.
Figura 1. Exemple de matriu ortogonal i com transforma objectes geomètrics. (Elaborat per Ricardo Pérez)
Quan una matriu ortogonal es multiplica pels vectors d'un espai vectorial produeix una transformació isomètrica, és a dir, una transformació que no canvia les distàncies i preserva els angles.
Un representant típic de les matrius ortogonals són les matrius de rotació. Les transformacions de les matrius ortogonals sobre un espai vectorial es denominen transformacions ortogonals.
Les transformacions geomètriques de rotació i reflexió de punts representats pels seus vectors cartesians, s'efectua mitjançant l'aplicació de matrius ortogonals sobre els vectors originals per obtenir les coordenades dels vectors transformats. És per aquesta raó que les matrius ortogonals són àmpliament usades en el processament gràfic computacional.
propietats
Una matriu M és ortogonal si multiplicada per la seva transposada M T dóna com a resultat la matriu identitat I. De la mateixa manera, el producte de la transposada d'una matriu ortogonal per la matriu original de com a resultat la matriu identitat:
MM T = M T M = I
Com a conseqüència de l'afirmació anterior, s'ha de la transposada d'una matriu ortogonal és igual a la seva matriu inversa:
M T = M -1 .
El conjunt de les matrius ortogonals de dimensió nxn formen el grup de ortogonal O (n). I el subconjunt d'O (n) de matrius ortogonals amb determinant +1 formen el Grup de Matrius especials Unitàries SEU (n). Les matrius de el grup SU (n) són matrius que produeixen transformacions lineals de rotació, també conegudes com el grup de rotacions.
demostració
Quremos demostrar que una matriu és ortogonal si, i només si, els vectors fila (o els vectors columna) són ortogonals entre si i de norma 1.
Suposeu que les files d'una matriu ortogonal nxn són n vectors ortonormals de dimensió n. Si es denota per v 1 , v 2 ,…., V n als n vectors es compleix:
On queda evident que efectivament el conjunt de vectors fila és un conjunt de vectors ortogonals amb norma un.
exemples
exemple 1
Demostri que la matriu 2 x 2 que en la primera fila té el vector v1 = (-1 0) i en la seva segona fila el vector v2 = (0 1) és una matriu ortogonal.
Solució: Es construeix la matriu M i es calcula la seva transposada M T:
En aquest exemple, la matriu M és acte transposada, és a dir que la matriu i la seva transposada són idèntiques. Es multiplica M per la seva transposada M T:
Es verifica que MM T és igual a la matriu identitat:
Quan la matriu M es multiplica per les coordenades d'un vector o d'un punt, s'obtenen unes noves coordenades que corresponen a la transformació que la matriu fa sobre el vector o el punt.
A la figura 1 es mostra com M transforma el vector o en u ' i també com M transforma el polígon blau al polígon vermell. Com M és ortogonal es tracta llavors d'una transformació ortogonal, la qual preserva les distàncies i els angles.
exemple 2
Suposeu que té una matriu 2 x 2 definida en els reals que en fa la següent expressió:
Trobar els valors reals de a, b, c i de manera tal que la matriu M sigui una matriu ortogonal.
Solució: Per definició, una matriu és ortogonal si multiplicada per la seva transposada s'obté com a resultat la matriu identitat. Recordant que la matriu transposada s'obté de l'original, intercanviant files per columnes es té la següent igualtat:
Realitzant la multiplicació matricial es té:
Igualant els elements de la matriu esquerra amb els elements de la matriu identitat a la dreta, obtenim un sistema de quatre equacions amb quatre incògnites a, b, ci d.
Proposem per a, b, c i les següents expressions en funció de raons trigonomètriques sinus i cosinus:
Amb aquesta proposta ia causa de la identitat trigonomètrica fonamental es satisfà automàticament la primera i tercera equació en la igualtat dels elements matricials. La tercera i la quarta equació són la mateixa i en la igualtat matricial després de substituir pels valors proposats queda així:
el que condueix a la següent solució:
Finalment s'obtenen les següents solucions per per la matriu ortogonal M:
Noti que la primera de les solucions té determinant +1 pel que pertany a el grup SU (2), mentre la segona solució té determinant -1 i per tant no pertany a aquest grup.
exemple 3
Donada la matriu següent, trobi els valors de ai de b perquè es tingui una matriu ortogonal.
Solució: Perquè una matriu donada sigui ortogonal, el producte amb la seva transposada ha de ser la matriu identitat. Llavors, s'efectua el producte matricial de la matriu donada amb la seva matriu transposada donant el següent resultat:
A continuació, s'iguala el resultat amb la matriu identitat 3 x 3:
A la segona fila tercera columna es té (ab = 0), però a no pot ser zero, perquè de ser així no es compliria la igualtat dels elements de la segona fila i segona columna. Llavors necessàriament b = 0. Substituint b pel valor 0 ens queda:
Després es resol l'equació: 2a ^ 2 = 1, les solucions són: + ½√2 i -½√2.
Prenent la solució positiva per a es té com a resultat la següent matriu ortogonal:
El lector pot verificar fàcilment que els vectors files (i també els vectors columnes) són ortogonals i unitaris, és a dir ortonormals.
exemple 4
Demostrar que la matriu A els vectors files són v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) i v3 = (0 0 -1) és una matriu ortogonal. A més a trobi com es transformen els vectors de la base canònica i, j, k als vectors u1, u2 i u3.
Solució: Cal recordar que l'element (i, j) d'una matriu multiplicada per la seva transposada, és el producte escalar de el vector de la fila (i) pel de la columna (j) de la transposada. A més aquest producte és igual a la delta de Kronecker en cas que la matriu sigui ortogonal:
En el nostre cas queda així:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x 0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Amb el que queda demostrat que es tracta d'una matriu ortogonal.
A més u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) i finalment u3 = A k = (0, 0, -1)
referències
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrius. Pass Publication.
- Birkhoff and MacLane. (1980). Àlgebra moderna, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introducció a l'àlgebra lineal. ESIC Editorial.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student 's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matriu ortogonal. Recuperat de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Orthogonal matrix. Recuperat de: en.wikipedia.com