- Càlcul de la inversa d'una matriu
- Mètode 1: mitjançant eliminació gaussiana
- Solució de sistema
- Mètode 2: mitjançant matriu adjunta
- Fórmula de la matriu inversa
- exercici resolt
- referències
La matriu inversa d'una matriu donada, és la matriu que multiplicada per l'original dóna com a resultat la matriu identitat. La matriu inversa és útil per resoldre sistemes d'equacions lineals, d'allí la importància de saber calcular-la.
Les matrius són de gran utilitat en física, enginyeria i matemàtiques, ja que són una eina compacta per resoldre problemes complexos. La utilitat de les matrius es potencia quan aquestes són invertibles i més es coneix la seva inversa.
Figura 1. Es mostra una matriu 2 × 2 genèrica i la seva matriu inversa. (Elaborat per Ricardo Pérez)
En els camps de processament gràfic, Big Data, Data Mining, Machine Learning i altres es fan servir algoritmes eficients i ràpids per avaluar la matriu inversa de matrius nxn amb n molt gran, en l'ordre dels milers o els milions.
Per il·lustrar l'ús de la matriu inversa en el maneig de sistema d'equacions lineals començarem amb el cas més simple de tots: matrius 1 × 1.
El cas més senzill: es considera una equació lineal d'una sola variable: 2 x = 10.
La idea és trobar el valor de x, però es farà "matricialment".
La matriu M = (2) que multiplica a el vector (x) és una matriu 1 × 1 que dóna com a resultat el vector (10):
M (x) = (10)
La inversa de la matriu M es denota per M -1.
La forma general d'escriure aquest "sistema lineal" és:
MX = B, on X és el vector (x) i B és el vector (10).
Per definició, la matriu inversa és la que multiplicada per la matriu original dóna com a resultat la matriu identitat I:
M -1 M = I
En el cas considerat, la matriu M -1 és la matriu (½), és a dir M -1 = (½) ja que M -1 M = (½) (2) = (1) = I
Per trobar el vector incògnita X = (x), en l'equació plantejada, es multiplica tots dos membres per la matriu inversa:
M -1 M (x) = M -1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(X) = (5)
S'ha arribat a una igualtat de dos vectors, els quals són iguals només quan els seus elements corresponents són iguals, és a dir x = 5.
Càlcul de la inversa d'una matriu
El que motiva el càlcul de la matriu inversa és trobar un mètode universal per a la solució de sistemes lineals com el següent sistema 2 × 2:
x - 2 i = 3
-x + i = -2
Seguint els passos de el cas 1 × 1, estudiat en l'apartat anterior, escrivim el sistema d'equacions en forma matricial:
Figura 2. Sistema lineal en forma matricial.
Noti que aquest sistema s'escriu en notació vectorial compacta de la següent manera:
MX = B
on
El proper pas és trobar la inversa de M.
Mètode 1: mitjançant eliminació gaussiana
S'aplicarà el mètode d'eliminació de Gauss. El qual consisteix a fer operacions elementals sobre les files de la matriu, aquestes operacions són:
- Multiplicar una fila per un nombre no nul.
- Sumar o resta a una fila una altra fila, o el múltiple d'una altra fila.
- Intercanviar les files.
L'objectiu és, mitjançant aquestes operacions, convertir la matriu original en la matriu identitat.
Al mateix temps que es realitza això, en la matriu M s'apliquen exactament les mateixes operacions a la matriu identitat. Quan després de diverses operacions a les files M es transformi a la matriu unitària, llavors la que originalment era la unitària es transformarà en la matriu inversa de M, és a dir M -1.
1- Comencem el procés escrivint la matriu M i al seu costat la matriu unitària:
2- Sumem les dues files i el resultat el posem a la segona fila, d'aquesta manera obtenim un zero en el primer element de la segona fila:
3- Multipliquem la segona fila per -1 per obtenir 0 i 1 a la segona fila:
4- Es multiplica la primera fila per ½:
5- Es suma la segona i la primera i el resultat es col·loca a la primera fila:
6- Ja per finalitzar el procés, es multiplica la primera fila per 2 per obtenir a la primera la matriu identitat i en la segona la matriu inversa de la matriu original M:
És a dir:
Solució de sistema
Un cop obtinguda la matriu inversa es procedeix a resoldre el sistema d'equacions mitjançant l'aplicació de la matriu inversa en els dos membres de l'equació vectorial compacta:
M -1 M X = M -1 B
X = M -1 B
Que en forma explícita queda així:
Després es fa la multiplicació matricial per obtenir el vector X:
Mètode 2: mitjançant matriu adjunta
En aquest segon mètode la matriu inversa es calcula partint de la matriu adjunta de la matriu original A.
Suposem una matriu A donada per:
on a i, j és l'element de la fila ii la columna j de la matriu A.
L'adjunta de la matriu A es denominarà Adj (A) i els seus elements són:
ad i, j = (-1) (i + j) |Ai, j|
on Ai, j és la matriu menor complementària que s'obté a l'eliminar la fila ii la columna j de la matriu original A. Les barres | | indiquen que es calcula el determinant, és a dir |Ai, j| és el determinant de la matriu menor complementària.
Fórmula de la matriu inversa
La fórmula per trobar la matriu inversa partint de la matriu adjunta de la matriu original és la següent:
És a dir, la matriu inversa de A, A -1, és la transposada de l'adjunta de A dividida entre el determinant de A.
La transposada A T d'una matriu A és la que s'obté a l'intercanviar files per columnes, és a dir, la primera fila passa a ser primera columna i la segona fila a segona columna i així successivament fins a completar la n files de la matriu original.
exercici resolt
Sigui la matriu A la següent:
Es calculen tots i cada un dels elements de la matriu adjunta de A: Adj (A)
Vist que la matriu adjunta de A, Adj (A) és la següent:
Després es calcula el determinant de la matriu A, det (A):
Finalment s'obté la matriu inversa de A:
referències
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrius. Pass Publication.
- AWOL Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introducció a l'àlgebra lineal. ESIC Editorial.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student 's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.