Les matemàtiques discretes corresponen a una àrea de la matemàtica que s'encarrega d'estudiar el conjunt dels nombres naturals; és a dir, el conjunt de nombres finits i infinits comptables on els elements poden ser comptats per separat, un per un.

A aquests conjunts se'ls coneix com a conjunts discrets; un exemple d'aquests conjunts són els nombres enters, els grafs o expressions lògiques, i són aplicats en diferents camps de la ciència, principalment en la informàtica o computació.

Descripció

En la matemàtica discreta els processos són numerables, tenen com a base els nombres enters. Això vol dir que no són utilitzats nombres decimals i, per tant, tampoc és usada l'aproximació o els límits, com en altres àrees. Per exemple, una incògnita pot ser igual a 5 o 6, però mai 4,99 o 5,9.

D'altra banda, en la representació gràfica les variables seran discretes i són donades a partir d'un conjunt finit de punts, que són comptats un a un, tal com s'observa a la imatge:

Les matemàtiques discretes neixen per la necessitat d'obtenir un estudi exacte que pugui ser combinat i provat, per així aplicar-lo en diferents àrees.

Per a què serveixen les matemàtiques discretes?

La matemàtica discreta és utilitzada en múltiples àrees. Dins de les principals es troben les següents:

combinatòria

Estudia conjunts finits on els elements poden ser ordenats o combinats i recomptats.

Teoria de distribució discreta

Estudia esdeveniments que ocorren en espais on les mostres poden ser comptables, en els quals les distribucions contínues s'usen per aproximar-se les distribucions discretes, o de manera contrària.

Teoria de la informació

Es refereix a la codificació d'informació, usada per al disseny i transmissió i emmagatzematge de dades, com ara senyals anàlogues.

Informàtica

A través de la matemàtica discreta es resolen problemes usant algoritmes, així com també s'estudia el que pot ser computat i el temps que triga per fer-ho (complexitat).

La importància de les matemàtiques discretes en aquesta àrea s'ha incrementat en les últimes dècades, sobretot per al desenvolupament de llenguatges de programació i de programaris.

criptografia

Es basa en la matemàtica discreta per crear estructures de seguretat o mètodes de xifrat. Un exemple d'aquesta aplicació són les contrasenyes, enviant per separat bits que contenen informació.

Mitjançant l'estudi les propietats dels nombres enters i els nombres primers (teoria dels nombres) es poden crear o destruir aquests mètodes de seguretat.

lògica

S'usen estructures discretes, que en general formen un conjunt finit, per així aconseguir demostrar teoremes o, per exemple, verificar un programari.

Teoria dels grafs

Permet la resolució de problemes lògics, usant nodes i línies que formen un tipus de gràfic, com es mostra en la següent imatge:

En matemàtica ha diferents conjunts que agrupen determinats números segons les característiques. Així, per exemple, es tenen:

- Conjunt de nombres naturals N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Conjunt de nombres enters E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Subconjunt de nombres racionals Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Conjunt de nombres reals R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Els conjunts s'anomenen amb lletres de l'alfabet, en majúscula; mentre que els elements s'anomenen en lletres minúscules, dins de claus ({}) i separats per comes (,). Generalment són representats en diagrames com el de Venn i el de Caroll, així com també de forma computacional.

Amb operacions bàsiques com a unió, intersecció, complement, diferència i producte cartesià, els conjunts i els seus elements són manejats, basats en la relació de pertinença.

Hi ha diverses classes de conjunts, els més estudiats en les matemàtiques discretes són els següents:

conjunt finit

És aquell que té un nombre finit d'elements i que correspon a un nombre natural. Així, per exemple, A = {1, 2, 3,4} és un conjunt finit que té 4 elements.

Conjunt infinit comptable

És aquell en el qual hi ha una correspondència entre els elements d'un conjunt i els nombres naturals; és a dir, que a partir d'un element es poden llistar successivament tots els elements d'un conjunt.

D'aquesta manera, cada element va a correspondre amb cada element del conjunt dels nombres naturals. Per exemple:

El conjunt dels nombres enters Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} pot ser llistat com Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. D'aquesta forma és possible realitzar una correspondència un a un entre els elements de Z i els números naturals, com s'aprecia en la següent imatge: