MÈTODE TRACHTENBERG: EN QUÈ CONSISTEIX, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

El mètode Trachtenberg és un sistema per realitzar operacions aritmètiques, principalment la multiplicació, d'una forma fàcil i ràpida, un cop conegudes i dominades les seves regles.

Va ser ideat per l'enginyer d'origen rus Jakow Trachtenberg (1888-1953) quan estava presoner dels nazis en un camp de concentració, com una forma de distracció per mantenir el seny mentre continuava en captivitat.

Figura 1. Taules de multiplicar. Font: Wikimedia Commons. Taulacat

En què consisteix, avantatges i desavantatges

L'avantatge que representa aquest mètode radica que per realitzar multiplicacions no cal memoritzar les taules de multiplicar, al menys en part, només n'hi ha prou amb saber comptar i sumar, així com dividir entre dos un dígit.

El desavantatge és que no hi ha una regla universal per multiplicar per qualsevol xifra, sinó que la regla varia d'acord a l'multiplicador. No obstant això, els patrons no són difícils de memoritzar i en principi permeten realitzar operacions sense ajuda de paper i llapis.

Al llarg d'aquest article ens concentrarem en les regles per multiplicar ràpidament.

exemples

Per aplicar el mètode cal conèixer les regles, per això anem a presentar-les una a una i amb exemples:

- Multiplicar una xifra per 10 o per 11

Regla per multiplicar per 10

-Per multiplicar qualsevol xifra per 10, simplement s'agrega un zero a la dreta. Per exemple: 52 x 10 = 520.

Regles per multiplicar per 11

-Es afegeix a l'inici i al final de la xifra un zero.

-Es suma cada dígit amb el seu veí de la dreta i el resultat es col·loca sota el dígit corresponent de la xifra original.

-Si el resultat sobrepassa 9, llavors s'anota la unitat i se li col·loca un puntet per recordar que portem una unitat que s'afegís a la suma de la propera xifra amb el seu veí de la dreta.

Exemple detallat de multiplicació per 11

Multiplicar 673.179 per 11

0 673.179 0 x 11 =

-----

= 7404969

Els passos necessaris per arribar a aquest resultat, il·lustrats mitjançant colors, són els següents:

-Es va multiplicar l'1 de la unitat de l'multiplicador (11) pel 9 de l'multiplicant (0 673.179 0) i se li va agregar 0. Es va obtenir el dígit de la unitat de l'resultat: 9.

-Després es multiplica 1 per 7 i se li suma nou dóna 16 i portem 1, es col·loca el dígit de la desena: 6.

-Després es multiplica 1 per 1 se li suma el veí de la dreta 7 més 1, que portava dóna com a resultat setembre per a la centena.

-La pròxima xifra s'obté de multiplicar 1 per 3 més el veí gener, resulta abril per al dígit dels milers.

-Es multiplica 1 per 7 i se li suma el veí març resultant 10, es col·loca el zero (0) com dígit dels diezmiles i es porta un.

-Després 1 per 6 més el veí juliol resulta 13 més un 1 que portava resulta 14, es col·loca el 4 com dígit dels cent-mil i es porta 1.

-Finalment es multiplica 1 per el zero que es va agregar a l'començament, donant zero més el veí 6 més un que es portava. Resulta finalment juliol per al dígit corresponent als milions.

- Multiplicació per nombres des del 12 fins al 19

Per multiplicar per 12 qualsevol xifra:

-Es afegeix un zero a l'inici i un altre zero a la fi de la xifra a multiplicar.

-Es duplica cada dígit de la xifra a multiplicar i se suma amb el seu veí de la dreta.

-Si la suma sobrepassa 10 s'agrega una unitat a la propera operació de duplicació i suma amb el veí.

Exemple de multiplicació per 12

Multiplicar 63247 per 12

0 63247 0 x 12 =

----

758.964

Els detalls per arribar a aquest resultat, seguint estrictament les regles enunciades, es mostren a la següent figura:

Figura 2. Mètode de Trachtenberg per multiplicar qualsevol nombre per 12. Font: F. Zapata.

- Extensió de les regles per a multiplicacions per 13,… fins a 19

El mètode de multiplicació per 12 es pot estendre a les multiplicacions per 13, 14 fins al 19 simplement canviant la regla de duplicar per triplicar per al cas de l'tretze, quadruplicar per al cas de l'14 i així successivament fins a arribar a l'19.

Regles per als productes per 6, 7 i 5

- Multiplicació per 6

-Agregar zeros a l'inici i final de la xifra a multiplicar per 6.

-Sumar a cada dígit la meitat del seu veí de la dreta, però si el dígit és imparell sumar 5 addicionalment.

Figura 3. Multiplicació d'una xifra per 6, seguint el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

- Multiplicació per 7

-Agregar zeros a l'inici i al final de la xifra a multiplicar.

-Duplicar cada dígit i sumar la meitat sencera inferior de l'veí, però si el dígit és imparell addicionalment sumar 5.

Exemple de multiplicació per 7

-Multiplicar 3412 per 7

-El resultat és 23884. Per aplicar les regles és recomanable en primer lloc reconèixer els dígits senars i posar-sobre un petit 5 per a recordar sumar aquesta xifra a el resultat.

Figura 4. Exemple multiplicació d'una xifra per 7, segons el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

- Multiplicació per 5

-Agregar zeros a l'inici i al final de la xifra a multiplicar.

-Col·locar sota de cada dígit la meitat sencera inferior de l'veí de la dreta, però si el dígit és imparell sumar addicionalment 5.

exemple

Multiplicar 256.413 per 5

Figura 5. Exemple multiplicació d'una xifra per 5, segons el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

Regles per als productes per 9

-Es afegeix un zero a l'inici i un altre a la fi de la xifra a multiplicar per nou.

-El primer dígit a la dreta s'obté de restar a 10 el dígit corresponent de la xifra a multiplicar.

-Després se li resta a 9 el dígit següent i se li suma el veí.

-Es repeteix el pas anterior fins a arribar a el zero de l'multiplicant, on restem 1 a el veí i el resultat es copia sota el zero.

Exemple de multiplicació per 9

Multiplicar 8769 per 9:

087690 x 9 =

-----

78.921

operacions

10-9 = 1

(9-6) +9 = 1 2 (es copia el 2 i es porta 1)

(9-7) + 1 + 6 = 9

(9-8) +7 = 8

(8-1) = 7

Multiplicació per 8, 4, 3 i 2

-Agregar zeros a l'inici i al final de la xifra a multiplicar.

-Per al primer dígit de la dreta restar de 10 i el resultat es duplica.

-Per als següents dígits restar de 9, el resultat es duplica i se li suma el veí.

-En arribar a l'zero restar 2 a l'veí de la dreta.

- Multiplicació per 8

Exemple de multiplicació per 8

-Multiplicar 789 per 8

Figura 6. Exemple multiplicació d'una xifra per 8, segons el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

- Multiplicació per 4

-Agregar zeros a la dreta i esquerra de l'multiplicant.

-Restar de 10 el dígit corresponent de la unitat afegint 5 si es tracta d'un dígit imparell.

-Restar de 9 a forma cada dígit de l'multiplicant, afegint la meitat de l'veí de la dreta i si es tracta d'un dígit imparell sumar 5 addicionalment.

-En arribar a l'zero de l'començament de l'multiplicant col·locar la meitat de l'veí menys un.

Exemple de multiplicació per 4

Multiplicar 365187 x 4

Figura 7. Exemple multiplicació d'una xifra per 4, segons el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

- Multiplicació per 3

-Agregar zero a cada extrem de l'multiplicant.

-Restar 10 menys el dígit de la unitat i afegir a 5 si és un dígit imparell.

-Per als altres dígits, restar-li a 9 duplicar el resultat, sumar la meitat de l'veí i sumar 5 si és imparell.

-En arribar a l'zero de la capçalera col·locar la meitat sencera menor de l'veí almenys 2.

Exemple de multiplicació per 3

Multiplicar 2588 per 3

Figura 8. Exemple multiplicació d'una xifra per 3, segons el mètode de Trachtenberg. Font: F. Zapata.

- Multiplicació per 2

-Agregar zeros en els extrems i duplicar cada dígit, si sobrepassa 10 sumar un a el següent.

exemple

Multiplicar 2374 per 2

0 2374 0 x 2

04.748

Multiplicar per xifres compostes

S'apliquen les regles enunciades anteriorment, però els resultats es van corrent a l'esquerra el nombre de llocs corresponents a desenes, centenes i així successivament. Vegem el següent exemple:

exercici

1. Cutler, Ann. 1960.The Trachtenberg speed system of basic mathematics. Doubleday & CO, NY.
2. Dialnet. Sistema ràpid de matemàtica bàsica. Recuperat de: dialnet.com
3. Racó matemàtic. Multiplicació ràpida pel mètode de Trachtenberg. Recuperat de: rinconmatematico.com
4. The Trachtenberg Speed ​​System of Basic Mathematics. Recuperat de: trachtenbergspeedmath.com
5. Wikipedia. Mètode Trachtenberg. Recuperat de: wikipedia.com