MÈTODE DE GAUSS-SEIDEL: EXPLICACIÓ, APLICACIONS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

El mètode de Gauss-Seidel és un procediment iteratiu per a trobar solucions aproximades a un sistema d'equacions lineals amb una precisió arbitràriament triada. El mètode s'aplica a matrius quadrades amb elements no nuls en les diagonals i la convergència es garanteix si la matriu és diagonalment dominant.

Va ser creat per Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el qual li va fer una demostració privada a un dels seus estudiants en 1823. Posteriorment va ser publicat formalment per Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) en 1874, d'aquí que porti el nom de tots dos matemàtics.

Figura 1. El mètode de Gauss-Seidel convergeix ràpidament per obtenir la solució d'un sistema d'equacions. Font: F. Zapata.

Per a una comprensió cabal de l'mètode, cal saber que una matriu és diagonalment dominant quan el valor absolut de l'element diagonal de cada fila és més gran o igual que la suma dels valors absoluts dels altres elements d'aquesta mateixa fila.

Matemàticament s'expressa així:

Explicació mitjançant un cas senzill

Per il·lustrar en què consisteix el mètode de Gauss-Seidel prendrem un cas senzill, en el qual es pot trobar els valors de X i Y en el sistema d'equacions lineals 2 × 2 que es mostra a continuació:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Passos a seguir

1- En primer lloc cal determinar si la convergència és segura. Immediatament s'observa que, en efecte, es tracta d'un sistema diagonalment dominant, ja que a la primera fila el primer coeficient té més valor absolut que els altres de la primera fila:

-5 -> - 2-

Igualment, el segon coeficient de la segona fila també és diagonalment dominant:

-4 -> - 1-

2- Es buiden les variables X i Y:

X = (1 - 2I) / 5

I = X / 4

3- Es col·loca un valor inicial arbitrari, denominat "llavor": Xo = 1, Jo = 2.

4-Comença la iteració: per obtenir la primera aproximació X1, Y1 se substitueix la llavor en la primera equació de el pas 2 i el resultat en la segona equació de el pas 2:

X1 = (1 - 2 Jo) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Es procedeix en forma similar per obtenir la segona aproximació de la solució de sistema d'equacions:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

I2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Tercera iteració:

X3 = (1 - 2 I2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

I3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Quarta iteració, com iteració final d'aquest cas il·lustratiu:

X4 = (1 - 2 I3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

I4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Aquests valors coincideixen força bé amb la solució trobada mitjançant altres mètodes de resolució. El lector pot comprovar-se ràpidament amb ajuda d'algun programa matemàtic en línia.

Anàlisi de l'mètode

Com es pot observar, en el mètode de Gauss-Seidel cal substituir en la següent variable, els valors aproximats obtinguts per a la variable prèvia en aquest mateix pas. Això el diferencia d'altres mètodes iteratius com el de Jacobi, en el qual cada pas requereix les aproximacions de l'etapa prèvia.

El mètode de Gauss-Seidel no és un procediment paral·lel, mentre que el de Gauss-Jordan si ho és. També és la raó que el mètode de Gauss-Seidel tingui una convergència més ràpida -en menys passos- que el mètode de Jordan.

Pel que fa a la condició de matriu diagonalment dominant, aquesta no sempre es satisfà. No obstant això, en la majoria dels casos n'hi ha prou amb intercanviar les files de el sistema original perquè es compleixi la condició. A més, el mètode convergeix gairebé sempre, tot i que no es compleixi la condició de dominància diagonal.

El resultat previ, obtingut mitjançant quatre iteracions de el mètode de Gauss-Seidel, pot escriure en forma decimal:

X4 = 0,1826

I4 = 0,04565

La solució exacta a el sistema d'equacions plantejat és:

X = 2/11 = 0,1818

I = 1/22 = 0,04545.

Així que amb prou feines amb 4 iteracions s'obté un resultat amb una mil·lèsima de precisió (0,001).

A la figura 1 es il·lustra com les successives iteracions convergeixen ràpidament a la solució exacta.

aplicacions

El mètode de Gauss-Seidel no es limita únicament a sistema d'equacions lineals 2 × 2. Pot generalitzar el procediment anterior per resoldre un sistema lineal de n equacions amb n incògnites, el qual es representa matricialment així:

A X = b

On A és una matriu nxn, mentre X és el vector n components de les n variables a ser calculades; i b és un vector que conté els valors dels termes independents.

Per generalitzar la seqüència d'iteracions aplicades en el cas il·lustratiu a un sistema nxn, de què vol calcular la variable Xi, s'aplicarà la següent fórmula:

En aquesta equació:

- k és l'índex per al valor obtingut en la iteració k.

-k + 1 indica el nou valor en la següent.

El nombre final d'iteracions queda determinat quan el valor obtingut en la iteració k + 1 difereix de l'obtingut immediatament abans, en una quantitat ε que és justament la precisió desitjada.

Exemples de el mètode de Gauss-Seidel

- Exemple 1

Escriure un algoritme general que permeti calcular el vector de solucions aproximades X d'un sistema lineal d'equacions nxn, donades la matriu de coeficients A, el vector de termes independents b, el nombre d'iteracions (i ter) i el valor inicial o "llavor "de el vector X.

solució

L'algoritme consta de dos cicles "Per", un per al nombre d'iteracions i l'altre per al nombre de variables. Quedaria de la següent manera:

Per k ε

Per i ε

X: = (1 / A) * (b - Σ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Exemple 2

Comprovar el funcionament de l'algoritme anterior mitjançant la seva aplicació en el programari matemàtic SMath Studio d'ús lliure i gratuït, disponible per a Windows i Android. Prendre com a exemple el cas de la matriu 2 × 2 que ens va servir per il·lustrar el mètode de Gauss-Seidel.

solució

Figura 2. Solució de sistema d'equacions de l'exemple 2 x 2, mitjançant el programari SMath Studio. Font: F. Zapata.

- Exemple 3

Aplicar l'algoritme de Gauss-Seidel per al següent sistema d'equacions 3 × 3, el qual s'ha ordenat prèviament de manera tal, que els coeficients de la diagonal són dominants (és a dir de més valor absolut que els valors absoluts dels coeficients de la mateixa fila):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Utilitza com a llavor el vector nul i considerar 05:00 iteracions. Comentar el resultat.

solució

Figura 3. Solució de sistema d'equacions de l'exemple resolt 3, usant SMath Studio. Font: F. Zapata.

Per al mateix sistema amb 10 iteracions en comptes de 5 s'obtenen els següents resultats: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

Això ens indica que n'hi ha prou amb cinc iteracions per obtenir tres decimals de precisió i que el mètode convergeixi ràpidament a la solució.

- Exemple 4

Mitjançant l'algoritme de Gauss-Seidel donat anteriorment, trobar la solució de sistema d'equacions 4 × 4 que es dóna a continuació:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 +3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 +10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 +3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Per arrencar el mètode, faci ús d'aquesta llavor:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 i x4 = 0

Penseu 10 iteracions i estimi l'error de l'resultat, comparant amb la iteració número 11.

solució

Figura 4. Solució de sistema d'equacions de l'exemple resolt 4, usant SMath Studio. Font: F. Zapata.

A l'comparar amb la següent iteració (la número 11), el resultat és idèntic. Les majors diferències entre les dues iteracions són de l'ordre de 2 × 10 ^-8, el que significa que la solució mostrada té una precisió de almenys set decimals.

referències

1. Mètodes iteratius de solució. Gauss-Seidel. Recuperat de: cimat.mx
2. Mètodes numèrics. Gauss-Seidel. Recuperat de: test.cua.uam.mx
3. Numèric: Mètode de Gauss-Seidel. Recuperat de: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel method. Recuperat de: a. wikipedia.com
5. Wikipedia. Mètode de Gauss-Seidel. Recuperat de: es.wikipedia.com