- En què consisteix el mètode d'Euler?
- exercicis resolts
- exercici 1
- solució
- exercici 2
- solució
- exercici 3
- solució
- Dinàmica de Newton i el mètode d'Euler
- exercici 4
- solució
- Exercicis proposats per a casa
- exercici 1
- exercici 2
- referències
El mètode d'Euler és el més bàsic i senzill dels procediments usats per trobar solucions numèriques aproximades, a una equació diferencial ordinària de primer ordre, sempre que es conegui la seva condició inicial.
Una equació diferencial ordinària (EDO) és l'equació que relaciona una funció desconeguda d'una sola variable independent amb les seves derivades.
Aproximacions successives pel mètode d'Euler. Font: Oleg Alexandrov
Si la major derivada que apareix en l'equació és de grau un, llavors es tracta d'una equació diferencial ordinària de primer grau.
La forma més general d'escriure una equació de primer grau és:
x = x 0
i = i 0
En què consisteix el mètode d'Euler?
La idea d'el mètode d'Euler és trobar una solució numèrica a l'equació diferencial en l'interval comprès entre X 0 i X f.
En primer lloc es discretitza l'interval en n + 1 punts:
x 0, x 1, x 2, x 3…, x n
Els quals s'obtenen així:
x i = x 0 + ih
On h és l'ample o pas dels subintervals:
Amb la condició inicial, llavors és possible també conèixer la derivada a l'inici:
i '(x o) = f (x o, i o)
Aquesta derivada representa el pendent de la recta tangent a la corba de la funció y (x) precisament en el punt:
Ao = (x o, i o)
Llavors es fa una predicció aproximada de el valor de la funció y (x) en el punt següent:
i (x 1) ≈ i 1
i 1 = i o + (x 1 - x o) f (x o, i o) = i o + hf (x o, i o)
S'ha obtingut llavors el proper punt aproximat de la solució que correspondria a:
A 1 = (x 1, i 1)
El procediment es repeteix per obtenir els successius punts
A 2, A 3…, x n
A la figura mostrada a l'començament, la corba blava representa la solució exacta de l'equació diferencial, i la vermella representa els successius punts aproximats obtinguts pel procediment d'Euler.
exercicis resolts
exercici 1
I) Sigui l'equació diferencial:
Amb la condició inicial x = a = 0; i a = 1
Mitjançant l'ús de l'mètode d'Euler aconsegueixi una solució aproximada de i en la coordenada X = b = 0.5, subdividint l'interval en n = 5 parts.
solució
Els resultats numèrics queden resumits així:
D'on es conclou que la solució I per al valor 0.5 és 1.4851.
Nota: per a la realització dels càlculs s'ha fet servir Smath Studio, programa gratuït d'ús lliure.
exercici 2
II) Continuant amb l'equació diferencial de l'exercici I), trobi la solució exacta i compareu-la amb el resultat obtingut pel mètode d'Euler. Trobi l'error o diferència entre el resultat exacte i l'aproximat.
solució
La solució exacta no és molt difícil de trobar. Se sap que la derivada de la funció sin (x) és la funció cos (x). Per tant la solució i (x) serà:
i (x) = sin x + C
Perquè es compleixi la condició inicial y (0) = 1, la constant C ha de valer 1. A continuació es compara el resultat exacte amb l'aproximat:
Es conclou que en l'interval calculat, l'aproximació té tres xifres significatives de precisió.
exercici 3
III) Penseu en la equació diferencial i les seves condicions inicials donades a continuació:
i '(x) = - i 2
Amb la condició inicial x 0 = 0; i 0 = 1
Utilitza el mètode d'Euler per trobar valors aproximats de la solució i (x) en l'interval x =. Utilitzeu pas h = 0.1.
solució
El mètode d'Euler és molt indicat per a ser usat amb un full de càlcul. En aquest cas farem servir el full de càlcul del GeoGebra, un programa gratuït i d'ús lliure.
En el full de càlcul de la figura es mostren tres columnes (A, B, C) la primera és la variable x, la segona columna representa la variable i, i la tercera columna la derivada i '.
La fila 2 conté els valors inicials de X, I, I '.
El pas de valor 0.1 s'ha col·locat a la cel de posició absoluta ($ D $ 4).
El valor inicial d'y0 està en la cel·la B2, i i1 a la cel·la B3. Per calcular i 1 s'usa la fórmula:
i 1 = i o + (x 1 - x o) f (x o, i o) = i o + hf (x o, i o)
Aquesta fórmula en full de càlcul seria Nombre B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
De manera similar y2 estaria a la cel·la B4 i la seva fórmula es mostra a la figura següent:
La figura mostra també la gràfica de la solució exacta, i els punts A, B,…, P de la solució aproximada mitjançant el mètode d'Euler.
Dinàmica de Newton i el mètode d'Euler
La dinàmica clàssica va ser desenvolupada per Isaac Newton (1643 - 1727). La motivació original de Leonard Euler (1707 - 1783) per a desenvolupar el seu mètode, va ser precisament el de resoldre l'equació de la segona llei de Newton en diverses situacions físiques.
La segona llei de Newton sol expressar com una equació diferencial de segon grau:
On x representa la posició d'un objecte en l'instant t. Aquest objecte té una massa mi està sotmès a una força F. La funció f es relaciona amb la força i la massa de la següent manera:
Per aplicar el mètode d'Euler es requereix dels valors inicials de temps t, velocitat vi posició x.
El següent quadre explica com partint de valors inicials t1, v1, x1 pot obtenir una aproximació de la velocitat v2 i la posició x2, en l'instant t2 = t1 + At, on At representa un petit increment i correspon a el pas en el mètode de Euler.
exercici 4
IV) Un dels problemes fonamentals en mecànica és el d'un bloc de massa M lligat a una molla (o ressort) de constant elàstica K.
La segona llei de Newton per a aquest problema seria així:
En aquest exemple, per simplificar es prendrà M = 1 i K = 1. Trobi solucions aproximades a la posició xi la velocitat v pel mètode d'Euler en l'interval de temps subdividint l'interval en 12 parts.
Prengui 0 com instant inicial, velocitat inicial 0 i posició inicial 1.
solució
Els resultats numèrics es mostren en el quadre següent:
També es mostren els gràfics de la posició i la velocitat entre els instants 0 i 1.44.
Exercicis proposats per a casa
exercici 1
Utilitza un full de càlcul per determinar una solució aproximada mitjançant el mètode d'Euler per a l'equació diferencial:
i '= - Exp (-i) amb les condicions inicials x = 0, i = -1 en l'interval x =
Comenceu amb un pas de 0,1. Grafiï el resultat.
exercici 2
Mitjançant l'ús d'un full de càlcul trobi solucions numèriques a l'equació de segon grau, on i és funció de la variable independent t.
i '' = - 1 / y² amb la condició inicial t = 0; i (0) = 0,5; i '(0) = 0
Trobi la solució en l'interval usant un pas de 0,05.
Grafiï el resultat: i vs t; i 'vs t
referències
- Mètode de Eurler.Tomado de wikipedia.org
- Euler resoldre. Pres de en.smath.com