El mètode de mínims quadrats és una de les aplicacions més importants en l'aproximació de funcions. La idea és trobar una corba tal que, donat un conjunt de parells ordenats, aquesta funció s'aproximi millor a les dades. La funció pot ser una recta, una corba quadràtica, un cúbica, etc.
La idea d'el mètode consisteix a minimitzar la suma de quadrats de les diferències en les ordenades (component I), entre els punts generats per la funció escollida i els punts pertanyents a el conjunt de dades.
Mètode de mínims quadrats
Abans de donar el mètode, primer hem de tenir clar el que vol dir "s'aproximi millor". Suposem que es busca una recta i = b + mx que sigui la que millor representi a un conjunt de n punts, a saber {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Com es mostra a la figura anterior, si les variables xiy estiguessin relacionades per la recta i = b + mx, llavors per x = x1 el valor corresponent de i seria b + MX1. No obstant això, aquest valor és diferent de l'autèntic valor de i, que és i = i1.
Recordem que en el pla, la distància entre dos punts ve donada per la següent fórmula:
Amb això en ment, per determinar la manera d'escollir la recta i = b + mx que millor s'aproximi a les dades donades, sona lògic utilitzar com a criteri la selecció de la recta que minimitzi la suma dels quadrats de les distàncies entre els punts i la recta.
Com la distància entre els punts (x1, y1) i (x1, b + MX1) és y1- (b + MX1), el nostre problema es redueix a trobar números mib tals que la següent suma sigui mínima:
La recta que compleix amb aquesta condició es coneix com la «aproximació de la recta de mínims quadrats als punts (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Un cop obtingut el problema, només queda escollir un mètode per trobar l'aproximació per mínims quadrats. Si els punts (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) estan tots en la recta i = mx + b, hauríem de són colineals i:
En aquesta expressió:
Finalment, si els punts no són colineals, llavors i-Au = 0 i el problema es pot traduir en trobar un vector u tal que la norma euclidiana sigui mínima.
Trobar el vector minimizante o no és tan difícil com es podria arribar a pensar. Com A és una matriu NX2 i u és una matriu 2 × 1, tenim que el vector Au és un vector en R n i pertany a la imatge de A, la qual és un subespai de R n amb una dimensió no més gran que dos.
Suposarem que n = 3 per mostrar quin és el procediment que s'ha de seguir. Si n = 3, la imatge d'A serà un pla o una recta que passa per l'origen.
Sigui v el vector minimizante. A la figura observem que i-Au es minimitza quan és ortogonal a la imatge de A. És a dir, si v és el vector minimizante, llavors passa que:
Després, podem expressar l'anterior d'aquesta forma:
Això només pot passar si:
Finalment, aclarint v, hem de:
És possible fer això ja que A t A és invertible sempre que els n punts donats com a dades no siguin colineals.
Ara, si en comptes de buscar una recta desitgéssim trobar una paràbola (l'expressió seria de la forma i = a + bx + cx 2) que fos una millor aproximació als n punts dades, el procediment seria el descrit a continuació.
Si els n punts dades estiguessin en aquesta paràbola, s'hauria de:
després:
De manera similar podem escriure i = Au. Si tots els punts no estan en la paràbola, hem de i-Au és diferent de zero per a qualsevol vector ui el nostre problema torna a ser: trobar un vector u en R3 tal que la seva norma --i-Au-- sigui el menor possible.
Repetint el procediment anterior, podem arribar a que el vector buscat és:
exercicis resolts
exercici 1
Trobar la recta que millor s'ajusti als punts (1,4), (-2,5), (3, -1) i (4,1).
solució
Hem de:
després:
Per tant, concloem que la recta que millor s'ajusta als punts està donada per:
exercici 2
Suposem que es deixa caure un objecte des d'una altura de 200 m. Mentre cau, es prenen les següents mesures:
Sabem que l'altura d'aquest objecte, després d'haver transcorregut un temps t, ve donada per:
Si volguéssim obtenir el valor de g, podem buscar una paràbola que sigui una millor aproximació als cinc punts donats a la taula, i així tindríem que el coeficient que acompanya at febrer serà una aproximació raonable a (-1/2) g si les mesuraments són exactes.
Hem de:
I després:
Així que els punts de dades s'ajusten per la següent expressió quadràtica:
Llavors, s'ha de:
Aquest és un valor que està raonablement prop de l'correcte, que és g = 9,81 m / s 2. Per poder obtenir una aproximació més exacta de g caldria partir d'observacions més precises.
Per a què serveix?
En els problemes que es donen en les ciències naturals o socials és convenient escriure les relacions que es donen entre diferents variables per mitjà d'alguna expressió matemàtica.
Per exemple, podem relacionar en economia el cost (C), els ingressos (I) i les utilitats (U) per mitjà d'una senzilla fórmula:
En física, podem relacionar l'acceleració causada per la gravetat, el temps en què un objecte ha estat caient i l'alçada de l'objecte per la llei:
En l'expressió anterior s o és l'altura inicial d'aquest objecte i v o és la seva velocitat inicial.
No obstant això, trobar fórmules com aquestes no és una tasca senzilla; en general li correspon a l'professional de torn treballar amb moltes dades i realitzar repetidament diversos experiments (per tal de verificar que els resultats obtinguts són constants) per trobar relacions entre les diferents dades.
Una manera comuna d'aconseguir això és representar les dades obtingudes en un pla com punts i buscar una funció contínua que s'aproximi de manera òptima a aquests punts.
Una de les maneres de trobar la funció que "millor s'aproximi" a les dades donades és pel mètode dels mínims quadrats.
A més, com hem vist també en l'exercici, gràcies a aquest mètode podem aconseguir aproximacions bastants properes a constants físiques.
referències
- Charles W Curtis Lineal Àlgebra. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Elementary Proability Theory with Stochastic Processes. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden & J.Douglas Faires. Anàlisi numèrica (7ed). Thompson Learning.
- Stanley I. Grossman. Aplicacions d'Algebra Lineal. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Àlgebra Lineal. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO