ÀLGEBRA BOOLEANA: HISTÒRIA, TEOREMES I POSTULATS, EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2025

El àlgebra booleana o àlgebra de Boole és la notació algebraica usada per al tractament de variables binàries. Cobreix els estudis de tota variable que només tingui 2 resultats possibles, complementàries i excloents entre si. Per exemple, les variables la única possibilitat és veritable o fals, correcte o incorrecte, encès o apagat són la base de l'estudi de l'àlgebra booleana.

L'àlgebra booleana constitueix la base de l'electrònica digital, la qual cosa la fa bastant present en la contemporaneïtat. Es regeix pel concepte de les comportes lògiques, on les operacions conegudes en l'àlgebra tradicional es veuen notablement afectades.

Font: pexels.com

història

L'àlgebra booleana va ser introduïda en 1854 pel matemàtic anglès George Boole (1815 - 1864), que va ser un autodidacte erudit de l'època. La seva inquietud va sorgir d'una disputa existent entre Augustus De Morgan i William Hamilton, sobre els paràmetres que defineixen a aquest sistema lògic.

George Boole va argumentar que la definició dels valors numèrics 0 i 1 correspon, en el camp de la lògica, a la interpretació Res i Univers respectivament.

La intenció de George Boole va ser definir, a través de les propietats de l'àlgebra, les expressions de la lògica proposicional necessàries per tractar amb variables de tipus binari.

En 1854 es publiquen els apartats més significatius de l'àlgebra booleana en el llibre "Una investigació de les lleis de la pensada sobre les quals es fonamenten les teories matemàtiques de la lògica i probabilitat".

Aquest curiós títol seria resumit més endavant com "The laws of thought" ("Les lleis de la pensada"). El títol va saltar a la fama a causa de la immediata atenció que va tenir per part de la comunitat matemàtica de l'època.

El 1948 Claude Shannon la va aplicar en el disseny de circuits de commutació elèctrica biestables. Això va servir com a introducció a l'aplicació de l'àlgebra booleana dins de tot l'esquema electrònic-digital.

estructura

Els valors elementals en aquest tipus d'àlgebra són 0 i 1, que corresponen a FALS i VERITABLE respectivament. Les operacions fonamentals en l'àlgebra booleana són 3:

- Operació AND o conjunció. Representada per un punt (.). Sinònim del producte.

- Operació OR o disjunció. Representada per una creu (+).Sinónimo de la suma.

- Operació NOT o negació. Representada pel prefix NOT (NOT A). També es coneix com a complement.

Si en un conjunt A es defineixen 2 lleis de composició interna denotades com a producte i suma (. +), Es diu que la terna (A. +) És un àlgebra booleana si i només si aquesta terna compleix amb la condició de ser un reticle distributiu.

Per definir un reticle distributiu s'han de complir les condicions de distribució entre les operacions donades:

. és distributiva respecte a la suma + a. (B + c) = (a. B) + (a. C)

+ És distributiva pel que fa a l'producte. a + (b. c) = (a + b). (A + c)

Els elements que componen a el conjunt A han de ser binaris, tenint així valors d'univers o buit.

aplicacions

La seva major escenari d'aplicació és la branca digital, on serveix per estructurar els circuits que componen a les operacions lògiques involucrades. L'art de la simplicitat de circuits en pro d'optimitzar els processos, és el resultat de la correcta aplicació i practica de l'àlgebra booleana.

Des de l'elaboració de taulers elèctrics, passant per la transmissió de dades, fins a arribar a la programació en diferents llenguatges, podem trobar freqüentment l'àlgebra de Boole en tot tipus d'aplicacions digitals.

Les variables booleanes són molt comuns en l'estructura de la programació. Depenent de l'llenguatge de programació utilitzat, existiran operacions estructurals de el codi que facin servir aquestes variables. Els condicionals i arguments de cada llenguatge admeten variables booleanes per definir els processos.

postulats

Hi teoremes que regeixen les lleis lògiques estructurals de l'àlgebra booleana. De la mateixa manera es tenen postulats per conèixer els resultats possibles en diferents combinacions de variables binàries, segons l'operació que es realitzi.

Suma (+)

L'operador OR l'element lògic és la unió (O) queda definit per variables binàries de la següent manera:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Producte (.)

L'operador AND l'element lògic és la intersecció (∩) queda definit per variables binàries de la següent manera:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

1. 0 = 0

1. 1 = 1

Oposat (NOT)

L'operador NOT l'element lògic és el complement (X) 'queda definit per a variables binàries de la següent manera:

NOT 0 = 1

NOT 1 = 0

Molts dels postulats difereixen dels seus equivalents en l'àlgebra convencional. Això és degut a el domini de les variables. Per exemple, l'addició d'elements univers en àlgebra booleana (1 + 1) no pot llançar el resultat convencional de 2, pel fet que no pertany als elements del conjunt binari.

teoremes

Regla de l'zero i la unitat

Tota operació simple que involucri un element amb les variables binàries, queda definida:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

1. A = A

Potències iguals o idempotencia

Les operacions entre variables iguals queden definides com:

A + A = A

A. A = A

complementació

Tota operació entre una variable i el seu complement queda definida com:

A + NOT A = 1

A. NOT A = 0

Involució o doble negació

Tota doble negació serà considerada com la variable natural.

NOT (NOT A) = A

commutativa

A + B = B + A; Commutativitat de la suma.

A. B = B. A; Commutativitat del producte.

associativa

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativitat de la suma.

A. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Associativitat del producte.

distributiva

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributivitat de la suma pel que fa a l'producte.

A. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributividad del producte respecte a la suma.

Lleis d'absorció

Hi ha moltes lleis d'absorció entre múltiples referències, algunes de les més conegudes són:

A. (A + B) = A

A. (NOT A + B) = A. B

NOT A (A + B) = NOT A. B

(A + B). (A + NOT B) = A

A + A. B = A

A + NOT A. B = A + B

NOT A + A. B = NOT A + B

A. B + A. NOT B = A

Teorema de Morgan

Són lleis de transformació, que manegen parells de variables que interactuen entre les operacions definides de l'àlgebra booleana (+.).

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT (A + B) = NOT A. NOT B

A + B = NOT (NOT A + NOT B)

A. B = NOT (NOT A. NOT B)

dualitat

Tots els postulats i teoremes posseeixen la facultat de la dualitat. Això implica que a l'intercanviar les variables i operacions es verifica la proposició resultant. És a dir, que a l'intercanviar 0 per 1 i AND per OR o viceversa; es crea una expressió que també serà completament vàlida.

Per exemple si es pren el postulat

1. 0 = 0

I se li aplica la dualitat

0 + 1 = 1

S'obté un altre postulat perfectament vàlid.

Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh és un diagrama usat en l'àlgebra booleana per simplificar funcions lògiques. Consisteix en un arranjament bidimensional similar a les taules de veritat de la lògica proposicional. Les dades de les taules de veritat poden ser directament plasmats en el mapa de Karnaugh.

El mapa de Karnaugh pot albergar processos de fins a 6 variables. Per funcions amb un major nombre de variables, es recomanen l'ús de programari per simplificar el procés.

Proposat el 1953 per Maurice Karnaugh, es va establir com una eina fixa en el camp de l'àlgebra de Boole, a causa que la seva implementació sincronitza la potencialitat humana amb la necessitat de simplificar expressions booleanes, aspecte clau en la fluïdesa dels processos digitals.

exemples

L'àlgebra booleana serveix per a la reducció de portes lògiques en un circuit, on la prioritat és portar la complexitat o nivell de l'circuit a la mínima expressió possible. Això es deu a el retard computacional que cada porta suposa.

En el següent exemple observarem la simplificació d'una expressió lògica fins a la seva mínima expressió, valent-se dels teoremes i postulats de l'àlgebra booleana.

NOT (AB + A + B). NOT (A + NOT B)

NOT. NOT (A + NOT B); Factoritzant l'A amb factor comú.

NOT. NOT (A + NOT B); Per teorema A + 1 = 1.

NOT (A + B). NOT (A + NOT B); per teorema A. 1 = A

(NOT A. NOT B).;

Per teorema de Morgan NOT (A + B) = NOT A. NOT B

(NOT A. NOT B). (NOT A. B); Per teorema de doble negació NOT (NOT A) = A

NOT A. NOT B. NOT A. B; Agrupació algebraica.

NOT A. NOT A. NOT B. B; Commutativitat del producte A. B = B. A

NOT A. NOT B. B; Per teorema A. A = A

NOT A. 0; Per teorema A. NOT A = 0

0; Per teorema A. 0 = 0

A. B. C + NOT A + A. NOT B. C

A. C. (B + NOT B) + NOT A; Factoritzant (A. C) amb factor comú.

A. C. (1) + NOT A; Per teorema A + NOT A = 1

A. C + NOT A; Per teorema regla de l'zero i la unitat 1. A = A

NOT A + C; Per llei de Morgan A + NOT A. B = A + B

Per a aquesta solució s'ha d'estendre la llei de Morgan per definir:

NOT (NOT A). C + NOT A = NOT A + C

A causa de que NOT (NOT A) = A per involució.

Simplificar la funció lògica

NOT A. NOT B. NOT C + NOT A. NOT B. C + NOT A. NOT C fins a la seva mínima expressió

NOT A. NOT B. (NOT C + C) + NOT A. NOT C; Factoritzant (NOT A. NOT B) amb factor comú

NOT A. NOT B. (1) + NOT A. NOT C; Per teorema A + NOT A = 1

(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); Per teorema regla de l'zero i la unitat 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Factoritzant NOT A amb factor comú

NOT A. NOT (B. C); Per lleis de Morgan NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT Per lleis de Morgan NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Qualsevol de les 4 opcions en negreta representa una possible solució per reduir el nivell de l'circuit

Simplificar la funció lògica fins a la seva mínima expressió

(A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B). C

(A. NOT B. C + A. 0. D + NOT A. NOT B). C; Per teorema A. NOT A = 0

(A. NOT B. C + 0 + NOT A. NOT B). C; Per teorema A. 0 = 0

(A. NOT B. C + NOT A. NOT B). C; Per teorema A + 0 = A

A. NOT B. C. C + NOT A. NOT B. C; Per distributivitat del producte respecte a la suma

A. NOT B. C + NOT A. NOT B. C; Per teorema A. A = A

NOT B. C (A + NOT A) ; Factoritzant (NOT B. C) amb factor comú

NOT B. C (1); Per teorema A + NOT A = 1

NOT B. C; Per teorema regla de l'zero i la unitat 1. A = A

referències

1. Àlgebra booleana i les seves aplicacions J. Eldon Whitesitt. Companyia Editorial Continental, 1980.
2. Mathematics and Engineering in Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
3. Mathematics for Computer Science. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachusetts Institute of Technology; Akamai Technologies.

4. Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Department of mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.