- Repàs de lògica proposicional
- fal·làcia
- proposicions
- Lleis de Morgan
- demostració
- conjunts
- Unió, intersecció i complements de conjunts
- Unió i intersecció
- complement
- Lleis de Morgan per a conjunts
- referències
Les l eyes de Morgan són regles d'inferència usades en lògica proposicional, que estableixen quin és el resultat de negar una disjunció i una conjunció de proposicions o variables proposicionals. Aquestes lleis van ser definides pel matemàtic Augustus De Morgan.
Les lleis de Morgan representen una eina molt útil per demostrar la validesa d'un raonament matemàtic. Posteriorment van ser generalitzades dins el concepte de conjunts pel matemàtic George Boole.
Aquesta generalització feta per Boole és completament equivalent a les lleis de Morgan inicials, però està desenvolupada específicament per a conjunts en lloc de per proposicions. Aquesta generalització també és coneguda com a lleis de Morgan.
Repàs de lògica proposicional
Abans de veure quines són específicament les lleis de Morgan i com es fan servir, és convenient recordar algunes nocions bàsiques de lògica proposicional. (Per a més detalls veure article de lògica proposicional).
En l'àmbit de la lògica matemàtica (o proposicional), una inferència és una conclusió que s'emet a partir d'un conjunt de premisses o hipòtesis. Aquesta conclusió, juntament amb les premisses esmentades, dóna lloc al que es coneix com un raonament matemàtic.
Aquest raonament ha de poder demostrar o negar-se; és a dir, que no totes les inferències o conclusions en un raonament matemàtic són vàlides.
fal·làcia
Una inferència falsa emesa a partir de certes hipòtesis que s'assumeixen veritables, es coneix com fal·làcia. Les fal·làcies tenen la particularitat de ser arguments que semblen correctes, però matemàticament no ho són.
La lògica proposicional s'encarrega precisament de desenvolupar i proporcionar mètodes per mitjà dels quals es pot, sense cap tipus d'ambigüitat, validar o refutar un raonament matemàtic; és a dir, inferir una conclusió vàlida a partir de premisses. Aquests mètodes es coneixen com a regles d'inferència, de les quals formen part les lleis de Morgan.
proposicions
Els elements essencials de la lògica proposicional són les proposicions. Les proposicions són afirmacions sobre les que es pot dir si són vàlides o no, però que no poden ser veritables o falses a el mateix temps. No ha d'haver ambigüitat en aquest assumpte.
Així com els nombres es poden combinar a través de les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió, les proposicions es poden operar per mitjà dels coneguts connectius (o connectors) lògics: negació (¬, "no"), disjunció (V, "o"), conjunció (ʌ, "i"), condicional (→, "si…, llavors…") i bicondicional (↔, "si, i només si").
Per treballar de manera més general, en lloc de considerar proposicions específiques es consideren variables proposicionals que representen proposicions qualssevol, i en general es denoten amb lletres minúscules p, q, r, s, etc.
Una fórmula proposicional és una combinació de variables proposicionals per mitjà d'alguns dels connectius lògics. En altres paraules, és una composició de variables proposicionals. Se solen denotar amb lletres gregues.
Es diu que una fórmula proposicional implica lògicament a una altra quan aquesta última és veritable cada vegada que la primera ho és. Això es denota per:
Quan la implicació lògica entre dues fórmules proposicionals és recíproca, és a dir, quan la implicació anterior és vàlida també en el sentit contrari- es diu que les fórmules són lògicament equivalents, i es denota per
L'equivalència lògica és una espècie d'igualtat entre fórmules proposicionals i permet reemplaçar una per l'altra quan sigui necessari.
Lleis de Morgan
Les lleis de Morgan consisteixen en dos equivalències lògiques entre dues formes proposicionals, que són:
Aquestes lleis permeten separar la negació d'una disjunció o conjunció, com negacions de les variables involucrades.
La primera es pot llegir de la següent manera: la negació d'una disjunció és igual a la conjunció de les negacions. I la segona es llegeix així: la negació d'una conjunció és la disjunció de les negacions.
En altres paraules, negar la disjunció de dues variables proposicionals equival a la conjunció de la negacions de les dues variables. Així mateix, negar la conjunció de dues variables proposicionals és equivalent a la disjunció de la negacions de les dues variables.
Com es va esmentar anteriorment, la substitució d'aquesta equivalència lògica ajuda a demostrar resultats importants, juntament amb les altres regles d'inferència existents. Amb aquestes es poden simplificar moltes fórmules proposicionals, de manera que siguin més útils per treballar.
El següent és un exemple d'una demostració matemàtica utilitzant regles d'inferència, entre aquestes les lleis de Morgan. Específicament, es demostra que la fórmula:
és equivalent a:
Aquesta última és més simple de comprendre i desenvolupar.
demostració
Cal esmentar que la validesa de les lleis de Morgan es pot demostrar matemàticament. Una manera és comparant les seves taules de veritat.
conjunts
Les mateixes regles d'inferència i les nocions de lògica aplicades a proposicions, també es poden desenvolupar considerant conjunts. Això és el que es coneix com àlgebra booleana, en honor al matemàtic George Boole.
Per diferenciar els casos, cal canviar la notació i traslladar a conjunts, totes les nocions ja vistes de la lògica proposicional.
Un conjunt és una col·lecció d'objectes. Els conjunts es denoten amb lletres majúscules A, B, C, X,… i els elements d'un conjunt es denoten amb lletres minúscules a, b, c, x, etc. Quan un element a pertany a un conjunt X, es denota per:
Quan no pertany a X, la notació és:
La manera de representar els conjunts és col·locant els seus elements dins de claus. Per exemple, el conjunt dels nombres naturals es representa per:
Els conjunts també es poden representar sense escriure una llista explícita dels seus elements. Es poden expressar de la forma {:}. Els dos punts es llegeixen "tal que". A l'esquerra dels dos punts es col·loca una variable que representa els elements del conjunt, i de la part dreta es col·loca la propietat o condició que satisfan. Això és:
Per exemple, el conjunt dels nombres enters més grans que -4 es pot expressar com:
O de manera equivalent, i més abreujada, com:
De la mateixa manera, les següents expressions representen els conjunts dels nombres parells i imparells, respectivament:
Unió, intersecció i complements de conjunts
A continuació veurem els anàlegs dels connectius lògics en el cas de conjunts, que formen part de les operacions bàsiques entre conjunts.
Unió i intersecció
La unió i la intersecció es defineixen, respectivament, de la següent manera:
Per exemple, considerem els conjunts:
Llavors, s'ha de:
complement
El complement d'un conjunt està format pels elements que no pertanyen a aquest conjunt (de el mateix tipus que representa l'original). El complement d'un conjunt A, es denota per:
Per exemple, dins dels nombres naturals, el complement del conjunt dels nombres parells és el dels imparells, i viceversa.
Per determinar el complement d'un conjunt s'ha de tenir clar des del principi el conjunt universal o principal dels elements que s'estan considerant. Per exemple, no és igual considerar el complement d'un conjunt sobre els nombres naturals que sobre els racionals.
La següent taula mostra la relació o analogia que hi ha entre les operacions sobre conjunts anteriorment definides, i els connectius de la lògica proposicional:
Lleis de Morgan per a conjunts
Finalment, les lleis de Morgan sobre conjunts són:
En paraules: el complement d'una unió és la intersecció dels complements, i el complement d'una intersecció és la unió dels complements.
Una demostració matemàtica de la primera igualtat seria la següent:
La demostració de la segona és anàloga.
referències
- Almaguer, G. (2002). Matemàtiques 1. Editorial Limusa.
- Aylwin, CU (2011). Lògica, Conjunts i Números. Mèrida - Veneçuela: Consell de Publicacions, Universitat dels Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducció a la Teoria de Nombres. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Curs bàsic de teoria de nombres. Universitat de el Nord.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Com Desenvolupar El Raonament Logico Matemàtica. Editorial Universitària.
- Guevara, MH (sf). Teoria de Els Números. EUNED.
- Saragossa, AC (sf). Teoria de nombres. Editorial Visió Llibres.