LLENGUATGE ALGEBRAIC: CONCEPTE, PER A QUÈ SERVEIX, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

El llenguatge algebraic és el que utilitza lletres, símbols i números per expressar en forma breu i concisa enunciats en què es demana realitzar operacions matemàtiques. Per exemple 2x - x ² és llenguatge algebraic.

Emprar el llenguatge algebraic adequat és molt important per modelar moltes situacions que es presenten en la naturalesa i en la quotidianitat, algunes dels quals poden ser molt complexos segons la quantitat de variables que es manegen.

El llenguatge algebraic consisteix en símbols, lletres i números que expressen proposicions matemàtiques en forma breu. Font: Pixabay.

Anem a mostrar alguns exemples senzills, per exemple el següent: Expressar en llenguatge algebraic la frase «El doble d'un nombre».

El primer que cal prendre en compte és que no sabem quant val aquest nombre. Com que hi ha molts per triar, llavors anem a cridar-ho "x", que els representa a tots i després, ho multipliquem per 2:

El doble d'un nombre és igual a: 2x

Provem aquesta altra proposició:

Com ja sabem que a qualsevol nombre desconegut el podem anomenar "x", ho multipliquem per 3 i afegim la unitat, que no és altra cosa que el número 1, així:

El triple d'un nombre més la unitat és igual a: 3x + 1

Una vegada que es té la proposició traduïda a l'llenguatge algebraic, podem donar-li després el valor numèric que vulguem, per dur a terme operacions com sumes, restes, multiplicacions, divisions i moltes més.

Per a què serveix el llenguatge algebraic?

L'avantatge immediata de el llenguatge algebraic és el breu i concís que és. Una vegada que es fa servir, el lector aprecia d'una ullada propietats que, d'una altra manera, prendria molts paràgrafs descriure i algun temps de llegir.

A més, per ser breu, facilita les operacions entre expressions i proposicions, sobretot quan ens ajudem dels símbols com =, x, +, -, per citar alguns dels molts que té la matemàtica.

En resum, una expressió algebraica seria, per a una proposició, l'equivalent de mirar la foto d'un paisatge, en comptes de llegir una llarga descripció amb paraules. Per tant, el llenguatge algebraic facilita l'anàlisi i les operacions i fa molt més breus dels textos.

I això no és tot, el llenguatge algebraic permet escriure expressions generals, i després usar-les per trobar coses molt concretes.

Suposem per exemple que ens demanen trobar el valor de: "el triple d'un nombre més la unitat quan aquest nombre val 10".

Tenint l'expressió algebraica és senzill substituir "x" per 10 i efectuar l'operació descrita:

(3 × 10) + 1 = 31

Si després volem trobar el resultat amb un altre valor de "x", es pot fer igual de ràpid.

Una mica d'història

Tot i que estem familiaritzats amb lletres i símbols matemàtics com el "=", la lletra "x" per a les incògnites, la creu "x" per al producte i molts altres, aquests no sempre es van utilitzar per escriure equacions i enunciats.

Per exemple, els antics textos àrabs i egipcis de matemàtiques tot just contenien símbols, i sense ells, ja ens podem imaginar el extensos que havien de ser.

No obstant això, van ser els mateixos matemàtics musulmans els que van començar a desenvolupar el llenguatge algebraic des de l'Edat Mitjana. Però va ser el matemàtic i criptògraf francès François Viète (1540-1603) el primer, que se sàpiga, en escriure una equació utilitzant lletres i símbols.

Algun temps després, el matemàtic anglès William Oughtred va escriure un llibre que va publicar en 1631, on feia ús de símbols com la creu per al producte i el símbol de proporcionalitat α, que encara es fan servir en l'actualitat.

Amb el córrer el temps i l'aportació de molts científics, es va anar desenvolupant tota la simbologia que es fa servir avui dia a les escoles, universitats i diferents àmbits professionals.

I és que les matemàtiques estan presents en les ciències exactes, l'economia, l'administració, les ciències socials i moltes altres àrees més.

Exemples de llenguatge algebraic

A continuació tenim exemples d'ús de l'llenguatge algebraic, no només per expressar proposicions en termes de símbols, lletres i números.

Figura 2.- Taula amb algunes proposicions d'ús comú i el seu equivalent en el llenguatge algebraic. Font: F. Zapata.

A vegades hem d'anar en sentit contrari, i tenim una expressió algebraica, escriure-la amb paraules.

Nota: si bé l'ús de la "x" com a símbol de la incògnita està molt estès (el freqüent "… trobi el valor de x…" dels exàmens), la veritat és que podem fer servir qualsevol lletra que vulguem per expressar el valor d'alguna magnitud.

L'important és ser consistent durant el procediment.

- Exemple 1

Escriure els següents enunciats utilitzant el llenguatge algebraic:

a) El quocient entre el doble d'un nombre i el triple de la mateixa més la unitat

Resposta a

Sigui n el nombre desconegut. L'expressió buscada és:

b) Cinc vegades un nombre més 12 unitats:

Resposta b

Si m és el nombre, es multiplica per 5 i s'agrega 12:

c) El producte de tres nombres naturals consecutius:

Resposta c

Sigui x un dels nombres, el nombre natural que segueix és (x + 1) i el que el segueix a aquest és (x + 1 + 1) = x + 2. Per tant el producte dels tres és:

d) La suma de cinc nombres naturals consecutius:

Resposta d

Cinc nombres naturals consecutius són:

Resposta

De vegades, per expressar una resta s'empra la frase «… disminuït en». D'aquesta manera l'expressió anterior quedaria:

El doble d'un nombre disminuït en el seu quadrat.

exercici resolt

La diferència de dos nombres és igual 2. A més se sap que 3 vegades el més gran, sumat amb el doble de el menor, és igual a quatre vegades l'esmentada diferència. Quant val la suma dels nombres?

solució

Analitzarem acuradament la situació presentada. La primera frase ens diu que hi ha dos números, els quals anomenarem xiy.

Un d'ells és més gran, però no se sap quin, així que suposarem que és x. I la seva diferència és igual a 2, per tant escrivim:

x - y = 2

Després se'ns explica que "3 vegades el major…", això és igual a 3x. Després va: sumat amb "el doble de el menor…", la qual cosa equival a 2y… Fem una pausa i escrivim fins aquí:

3x + 2y….

Ara prosseguim: "… és igual a quatre vegades l'esmentada diferència". L'esmentada diferència és 2 i ja podem completar la proposició:

3x + 2y = 4.2 = 8

Amb aquestes dues proposicions hem de trobar la suma dels nombres. Però per sumar-los primer hem de saber quines són.

Tornem a les nostres dues proposicions:

x - y = 2

3x - 2y = 8

Podem aïllar x de la primera equació: x = 2 + i. Després substituir en la segona:

3 (2 + i) - 2y = 8

i +6 = 8

i = 2

Amb aquest resultat i substituint, x = 4 i el que demana el problema és la suma de tots dos: 6.

referències

1. Arellano, I. Breu història dels símbols matemàtics. Recuperat de: cienciorama.unam.mx.
2. Baldor, A. 1974. Àlgebra Elemental. Cultural Veneçolana SA
3. Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
4. Méndez, A. 2009. Matemàtiques I. Editorial Santillana.
5. Zill, D. 1984. Àlgebra i Trigonometria. McGraw Hill.