LÍNIA PERPENDICULAR: CARACTERÍSTIQUES, EXEMPLES, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

Una línia perpendicular és la que forma un angle de 90º respecte a una altra línia, corba o superfície. Cal notar que quan dues línies són perpendiculars i estan sobre un mateix pla, a l'tallar-se formen quatre angles idèntics, cadascun de 90 º.

Si un dels angles no és 90º es diu que les línies són obliqües. Les línies perpendiculars són freqüents en disseny, arquitectura i construcció, per exemple la xarxa de canonades de la següent imatge.

Figura 1. Xarxa de canonades en angle recte i nombroses línies perpendiculars. Quants angles de 90º poden explicar-se en aquesta imatge? Font: Piqsels.

L'orientació de les línies perpendiculars pot ser diversa, com ara les que es mostren a continuació:

Figura 2. Línies perpendiculars sobre el pla. Font: F. Zapata.

Independentment de la posició, les línies perpendiculars entre si es reconeixen a l'identificar l'angle entre elles com 90º, amb ajuda de l'transportador.

Cal observar que a diferència de les línies paral·leles en el pla, que mai s'intersecten, les perpendiculars sempre ho fan en un punt P, anomenat peu d'una de les línies sobre l'altra. Per tant dues línies perpendiculars també són secants.

Una línia qualsevol posseeix infinites perpendiculars a ella, ja que amb només desplaçar el segment AB a l'esquerra o la dreta sobre el segment CD, tindrem noves perpendiculars amb un altre peu.

No obstant això, a la perpendicular que passa just pel punt mitjà d'un segment se li crida bisectriu d'aquest segment.

Exemples de línies perpendiculars

Les línies perpendiculars són freqüents en el paisatge urbà. A la següent imatge (figura 3) s'han destacat tot just unes poques de les moltes línies perpendiculars que s'aprecien en la senzilla façana d'aquesta edificació i els seus elements com portes, productes, esglaons i més:

Figura 3. Hi ha una gran quantitat de línies perpendiculars a la façana d'una edificació comú com aquesta. Font: Richard Kang a través de Flickr.

El millor és que tres rectes perpendiculars entre si ens ajuden a establir la ubicació dels punts i objectes en l'espai. Són els eixos de coordenades identificats com a eix x, eix y eix z, clarament visibles a la cantonada d'una habitació rectangular com la que segueix:

Figura 4. El sistema d'eixos cartesians consisteix en tres rectes perpendiculars entre si, cadascuna té una adreça preferencial en l'espai. Crèdits de la imatge esquerra: treybunn 2 a través de Flickr. Imatge dreta; Needpix.

A la panoràmica de la ciutat, a la dreta, també s'adverteix la perpendicularitat entre el gratacels i el terra. El primer diríem que es troba al llarg de l'eix z, mentre que el sòl és un pla, que en aquest cas és el pla xy.

Si el sòl constitueix el pla xy, el gratacel també és perpendicular a qualsevol avinguda o carrer, la qual cosa garanteix la seva estabilitat, ja que una estructura inclinada és inestable.

I als carrers, allà on hi hagi cantonades rectangulars, hi ha línies perpendiculars. Moltes avingudes i carrers tenen un traçat perpendicular, sempre que el terreny i els accidents geogràfics ho permetin.

Per expressar abreujadament la perpendicularitat entre rectes, segments o vectors, s'utilitza el símbol ⊥. Per exemple, si la recta L ₁ és perpendicular a la recta L ₂, escrivim:

L ₁ ⊥ L ₂

Més exemples de línies perpendiculars

- En el disseny les línies perpendiculars estan molt presents, ja que molts objectes comuns es basen en quadrats i rectangles. Aquests quadrilàters es caracteritzen per tenir angles interns de 90º, perquè els seus costats són paral·lels dos a dos:

Figura 5. Quadrats i rectangles formen part de nombrosos dissenys, com el d'aquesta senzilla caixa de cartró per guardar mercaderia. Font: F. Zapata.

- Les pistes en què es practiquen diferents esports estan demarcades per nombrosos quadrats i rectangles. Aquests al seu torn contenen línies perpendiculars.

- Dos dels segments que componen un triangle rectangle són perpendiculars entre si. A aquests se'ls anomena catets, mentre que la línia restant s'anomena hipotenusa.

- Les línies de el vector camp elèctric són perpendiculars a la superfície d'un conductor en equilibri electrostàtic.

- Per a un conductor carregat, les línies i superfícies equipotencials sempre són perpendiculars a les de camp elèctric.

- En els sistemes de canonades o conductes emprats per transportar diferents classes de fluids, com les de gas que apareixen a la figura 1, és freqüent que es presentin colzes en angle recte. Per tant formen línies perpendiculars, tal és el cas d'una sala de calderes:

Figura 6. Canonades en una sala de calderes. Font: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

exercicis

- Exercici 1

Dibuixar dues línies perpendiculars mitjançant regla i compàs.

solució

És molt senzill de fer, seguint aquests passos:

-Es dibuixa la primera línia, anomenada AB (negre).

-Per sobre (o per sota si es prefereix) d'AB es marca el punt P, per on passarà la perpendicular. Si P està just a sobre (o per sota) de la meitat d'AB, aquesta perpendicular és la bisectriu de l'segment AB.

-Amb el compàs centrat en P es traça una circumferència que talli a AB en dos punts, anomenats A 'i B' (vermell).

-Es obertura el compàs en A'P, se centra en A 'i es traça una circumferència que passi per P (verd).

-Repetir el pas anterior, però ara obrint el compàs el llarg de l'segment B'P (verd). Tots dos arcs de circumferència es tallen en el punt Q per sota de P i per descomptat en aquest últim.

-Es uneixen els punts P i Q amb la regla i ja està a punt la línia perpendicular (blau).

-Per últim cal esborrar acuradament totes les construccions auxiliars, deixant només les perpendiculars.

Figura 6. Traçat de línies perpendiculars amb regle i compàs. Font: Wikimedia Commons.

- Exercici 2

Dues rectes L ₁ i L ₂ són perpendiculars si els seus respectives pendents m ₁ i m ₂ compleixen aquesta relació:

m ₁ = -1 / m ₂

Donada la recta i = 5x - 2, trobar una recta perpendicular a ella i que passi pel punt (-1, 3).

solució

-En primer lloc es troba el pendent de la recta perpendicular m _⊥, segons el que indica l'enunciat. El pendent de la recta original és m = 5, el coeficient que acompanya «x». llavors:

m _⊥ = -1/5

Després es construeix l'equació de la recta perpendicular i _⊥, substituint el valor prèviament trobat:

i _⊥ = -1 / 5x + b

-Seguidamente es determina el valor de b, amb ajuda de el punt donat per l'enunciat, el (-1,3), ja que la recta perpendicular ha de passar per ell:

i = 3

x = -1

substituint:

3 = -1/5 (-1) + b

Es buida el valor de b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Per últim es construeix l'equació definitiva:

i _⊥ = -1 / 5x + 14/5

referències

1. Baldor, A. 2004. Geometria plana i de l'espai. Publicacions Cultural.
2. Clemens, S. 2001. Geometria amb aplicacions i solució de problemes. Addison Wesley.
3. Math is Fun. Perpendicular lines. Recuperat de: mathisfun.com.
4. Monterey Institute. Línies perpendiculars. Recuperat de: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Línies perpendiculars. Recuperat de: es.wikipedia.org.