- En què consisteix el límit de Fermat?
- Aplicació de el límit de Fermat per màxims i mínims
- La paràbola cúbica
- Màxims i mínims
- mètode
- història
- exercicis
- exercici 1
- exercici 2
- referències
El límit de Fermat és un mètode numèric utilitzat per aconseguir el valor del pendent d'una recta, la qual és tangent a una funció en un punt determinat del seu domini. També és emprat en l'obtenció de punts crítics d'una funció. La seva expressió es defineix com:
És obvi que Fermat desconeixia els fonaments de la derivació, però van ser els seus estudis els que van impulsar a un grup de matemàtics a indagar sobre les rectes tangents i les seves aplicacions en el càlcul.
En què consisteix el límit de Fermat?
Consisteix en un acostament de 2 punts, que en condicions anteriors formen una recta secant a la funció amb intersecció en parells de valors.
A l'aproximar la variable a la valor "a", s'obliga a el parell de punts a trobar-se. D'aquesta forma la recta anteriorment secant, esdevé tangent a el punt (a, f (a)).
El valor de l'quocient (x - a), a l'ésser avaluat en el punt "a", llança una indeterminació de límits de l'tipus K entre zero (K / 0). On a través de diferents tècniques de factorització es poden trencar aquestes indeterminacions.
Les tècniques d'operació més utilitzades són:
-Diferència de quadrats (a 2 - b 2) = (a + b) (a - b); L'existència d'l'element (a-b) implica en gran part dels casos el factor que simplifica l'expressió (x-a) en el quocient de el límit de Fermat.
- Completació de quadrats (ax 2 + bx); Després de completar quadrats s'obté un binomi de Newton, on un dels seus 2 factors es simplifica amb l'expressió (x - a), trencant la indeterminació.
- conjugada (a + b) / (a + b); Multiplicar i dividir l'expressió per la conjugada d'algun factor, pot ser de gran ajuda per trencar la indeterminació.
- Factor comú; En molts casos el resultat d'operar el numerador de el límit de Fermat f (x) - f (a) oculta a l'factor (x - a) necessari per a factoritzar. Per això s'observa amb deteniment quins elements es repeteixen en cada factor de l'expressió.
Aplicació de el límit de Fermat per màxims i mínims
Tot i que el límit de Fermat no diferencia entre màxims i mínims, ja que només pot identificar els punts crítics segons la seva definició, és comunament usat en el càlcul de topalls o pisos de les funcions en el pla.
Un coneixement base sobre la teoria gràfica de funcions en conunto amb aquest teorema, pot ser suficient per establir valors màxims i mínims entre funcions. De fet els punts d'inflexió poden ser definits mitjançant el teorema de el valor mitjà addicional a l'teorema de Fermat.
La paràbola cúbica
La paradoxa més significativa per Fermat va arribar a l'estudiar la paràbola cúbica. A causa de que la seva atenció estava dirigida a les rectes tangents d'una funció per a un punt donat, es va trobar amb el problema de definir aquesta recta tangent en el punt d'inflexió existent en la funció.
Semblava impossible determinar la recta tangent a un punt. Comença així la indagació que donaria origen a el càlcul diferencial. Definit després per importants exponents de la matemàtica.
Màxims i mínims
L'estudi de màxims i mínims d'una funció va suposar un repte per a les matemàtiques clàssiques, on calia un mètode inequívoc i pràctic per a la definició d'aquests.
Fermat va crear un mètode basat en l'operació de petits valors diferencials, els quals després de processos de factorització, són eliminats donant pas a la valor buscat com a màxim i mínim.
Aquesta variable haurà de ser avaluada en l'expressió original per determinar la coordenada d'aquest punt, que al costat de criteris analítics serà definit com a màxim o mínim de l'expressió.
mètode
En el seu mètode, Fermat empra el simbolisme literal de Vieta, que consistia en l'ús exclusiu de lletres majúscules: Les vocals, per a les incògnites, i les consonants per les quantitats conegudes.
Per al cas de valors radicals, Fermat va implementar un procés particular, que més endavant seria utilitzat en les factoritzacions dels límits d'indeterminació infinit entre infinit.
Aquest procés consisteix a dividir cada expressió entre el valor d'el diferencial utilitzat. En el cas de Fermat va utilitzar la lletra E, on després de la divisió entre la major potència d'E, el valor buscat de el punt crític es torna despejable.
història
El límit de Fermat és de fet una de les aportacions de menys renom en la llarga llista de l'matemàtic. Els seus estudis van ser des dels nombres primers, fins bàsicament crear les bases per al càlcul.
Al seu torn Fermat era conegut per les seves excentricitats respecte a les seves hipòtesis. Era comú que deixés una mena de repte als altres matemàtics de l'època, quan ell ja posseïa la solució o demostració.
Va tenir gran varietat de disputes i aliances amb diferents matemàtics de l'època, els qui estimaven o odiaven treballar amb ell.
El seu últim teorema va ser el principal responsable de la seva fama mundial, on va afirmar que una generalització de teorema de Pitàgores per a qualsevol grau "n", era impossible. Va dir posseir una demostració valida d'això, però va morir abans de fer-la pública.
Aquesta demostració va haver d'esperar 350 anys aproximadament. El 1995 els matemàtics Andrew Wiles i Richard Taylor, van posar fi a l'angoixa deixada per Fermat, demostrant que tenia raó a través d'una demostració vàlida del seu últim teorema.
exercicis
exercici 1
Definiu el pendent de la recta tangent a la corba f (x) = x 2 en el punt (4, 16)
Substituint en l'expressió de el límit de Fermat es té:
Es simplifiquen els factors (x - 4)
A l'avaluar es té
M = 4 + 4 = 8
exercici 2
Definiu el punt crític de l'expressió f (x) = x 2 + 4x usant el límit de Fermat
Es realitza una agrupació estratègica d'elements, buscant agrupar els parells XX 0
Es desenvolupen els mínims quadrats
S'observa el factor comú XX 0 i s'extreu
Ja pot simplificar l'expressió i trencar-se la indeterminació
En els punts mínims se sap que el pendent de la recta tangent és igual a zero. De tal manera podem igualar a zero l'expressió trobada i aclarir el valor X 0
2 X 0 + 4 = 0
X 0 = -4/2 = -2
Per aconseguir la coordenada que falta només cal avaluar el punt en la funció original
F (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4
El punt crític és P (-2, -4).
referències
- Reial Analysis. A Historical Approach Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 ago. 1999.
- The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601-1665: Second Edition. Michael Siguin Mahoney. Princeton University Press, 5 juny. 2018
- From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
- Fermat 's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 gen. 2000
- Fermat Days 85: Mathematics for Optimization. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 ena. 1986