- Origen i història
- Aristòtil
- Què estudia la lògica matemàtica?
- proposicions
- Taules de veritat
- Tipus de lògica matemàtica
- àrees
- referències
La lògica matemàtica o lògica simbòlica és un llenguatge matemàtic que abasta les eines necessàries per mitjà de les quals es pot afirmar o negar un raonament matemàtic.
És ben conegut que en matemàtiques no hi ha ambigüitats. Donat un argument matemàtic, aquest és vàlid o simplement no ho és. No pot ser fals i veritable a el mateix temps.
Un aspecte particular de les matemàtiques és que posseeix un llenguatge formal i rigorós mitjançant el qual es pot determinar la validesa d'un raonament. Què és el que fa que cert raonament o qualsevol demostració matemàtica sigui irrefutable? D'això es tracta la lògica matemàtica.
Així doncs, la lògica és la disciplina de la matemàtica que s'encarrega d'estudiar els raonaments i demostracions matemàtiques, i de proporcionar les eines per ser capaços d'inferir una conclusió correcta a partir d'unes afirmacions o proposicions prèvies.
Per a això, es fa ús d'axiomes i altres aspectes matemàtics que es desenvoluparan més endavant.
Origen i història
Les dates exactes pel que fa a molts aspectes de la lògica matemàtica són incertes. No obstant això, la majoria de les bibliografies sobre el tema remunten l'origen d'aquesta a l'antiga Grècia.
Aristòtil
El començament de l'tractament rigorós de la lògica s'atribueix, en part, a Aristòtil, qui va escriure un conjunt d'obres de lògica, les quals van ser posteriorment recopilades i desenvolupades per diferents filòsofs i científics, fins a l'Edat Mitjana. Això es podria considerar com "la lògica antiga".
Després, en la qual es coneix com l'Edat Contemporània, Leibniz, mogut per un profund desig d'establir un llenguatge universal per raonar matemàticament, i altres matemàtics com Gottlob Frege i Giuseppe Peano, van influir notablement en el desenvolupament de la lògica matemàtica amb grans aportacions, entre ells, els Axiomes de Peano, que formulen propietats indispensables dels nombres naturals.
També van ser de gran influència en aquesta època els matemàtics George Boole i Georg Cantor, amb contribucions importants en teoria de conjunts i taules de veritat, en què ressalten, entre d'altres aspectes, el Àlgebra Booleana (per George Boole) i el Axioma d'Elecció (per George Cantor).
També està Augustus De Morgan amb les conegudes lleis de Morgan, que contemplen negacions, conjuncions, disjuncions i condicionals entre proposicions, claus per al desenvolupament de la Lògica Simbòlica, i Jhon Venn amb els famosos diagrames de Venn.
Al segle XX, aproximadament entre 1910 i 1913, ressalten Bertrand Russell i Alfred North Whitehead amb la seva publicació de Principia mathematica, un conjunt de llibres que recopila, desenvolupa i postula una sèrie d'axiomes i resultats de lògica.
Què estudia la lògica matemàtica?
proposicions
La lògica matemàtica s'inicia amb l'estudi de les proposicions. Una proposició és una afirmació que sense cap tipus d'ambigüitat es pot dir si és veritable o no. Els següents són exemples de proposicions:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- L'any 1930 hi va haver un terratrèmol a Europa.
La primera és una proposició veritable i la segona és una proposició falsa. La tercera, tot i que és possible que la persona que la llegeix no sàpiga si és vertadera o immediatament, és una afirmació que es pot comprovar i determinar si realment va passar o no.
Els següents són exemples d'expressions que no són proposicions:
- Ella és rossa.
- 2x = 6.
- Anem a jugar!
- T'agrada el cinema?
A la primera proposició, no s'especifica qui és "ella", per tant no es pot afirmar res. A la segona proposició, no s'ha especificat què representa "x". Si en lloc es digués que 2x = 6 per algun nombre natural x, en aquest cas sí correspondria a una proposició, de fet veritable, ja que per a x = 3 es compleix.
Les últimes dues afirmacions no corresponen a una proposició, ja que no hi ha manera de negar-les o afirmar-.
Dos o més proposicions es poden combinar (o connectar) usant els coneguts connectius (o connectors) lògics. Aquests són:
- Negació: "No està plovent".
- Disjunció: "Luisa va comprar una bossa blanc o gris".
- Conjunció: «4 2 = 16 i 2 × 5 = 10".
- Condicional: "Si plou, llavors no vaig a gimnàs aquesta tarda".
- Bicondicional: "Vaig a gimnàs aquesta tarda si, i només si, no plou".
A una proposició que no posseeixi cap dels connectius anteriors, se l'anomena proposició simple (o atòmica). Per exemple, "2 és menor que 4", és una proposició simple. Les proposicions que posseeixin algun connectiu se'ls criden proposicions compostes, com ara "1 + 3 = 4 i 4 és un nombre parell".
Les declaracions fetes per mitjà de proposicions solen ser llargues, per la qual cosa resulta tediós escriure-sempre com s'ha vist fins ara. Per això, es fa ús d'un llenguatge simbòlic. Les proposicions es solen representar per lletres majúscules com P, Q, R, S, etc. I els connectius simbòlics de la següent manera:
De manera que
La recíproca d'una proposició condicional
és la proposició
I la contrarrecíproca (o contrapositiva) d'una proposició
és la proposició
Taules de veritat
Un altre concepte important en lògica és el de taules de veritat. Els valors de veritat d'una proposició són les dues possibilitats que es té per una proposició: veritable (que es denotarà per V i es dirà que el seu valor de veritat és V) o falsa (que es denotarà per F i es dirà que el seu valor de veritat és F).
El valor de veritat d'una proposició composta depèn exclusivament dels valors de veritat de les proposicions simples que hi apareixen.
Per treballar de manera més general, no es consideren proposicions específiques, sinó variables proposicionals p, q, r, s, etc., que representaran proposicions qualssevol.
Amb aquestes variables i els connectius lògics es formen les conegudes fórmules proposicionals a l'igual que es construeixen les proposicions compostes.
Si cadascuna de les variables que apareixen en una fórmula proposicional se substitueix per una proposició, s'obté una proposició composta.
A continuació es presenten les taules de veritat per als connectius lògics:
Hi ha fórmules proposicionals que reben només el valor V en la seva taula de veritat, és a dir, l'última columna de la seva taula de veritat només té el valor V. A aquest tipus de fórmules se li coneix com tautologies. Per exemple:
La següent és la taula de veritat de la fórmula
Es diu que una fórmula α implica lògicament a una altra fórmula β, si α és veritable cada vegada que β ho sigui. És a dir, a la taula de veritat de α i de β, les files on α té una V, β també té una V. Només interessa les files en què α tingui el valor V. La notació per a la implicació lògica és la següent:
La següent taula resumeix les propietats de la implicació lògica:
Es diu que dues fórmules proposicionals són lògicament equivalent si les seves taules de veritat són idèntiques. Es fa servir la següent notació per expressar l'equivalència lògica:
Les següents taules resumeixen les propietats de l'equivalència lògica:
Tipus de lògica matemàtica
Hi ha diversos tipus de lògica, sobretot si es té en compte la lògica pragmàtica o informal que apunta a la filosofia, entre altres àrees.
Pel que fa a matemàtica respecta, els tipus de lògica es podrien resumir en:
- Lògica formal o aristotèlica (lògica antiga).
- Lògica proposicional: s'encarrega de l'estudi de tot el referent a la validesa d'arguments i proposicions usant un llenguatge formal i també simbòlic.
- Lògica simbòlica: enfocada a l'estudi dels conjunts i les seves propietats, també amb un llenguatge formal i simbòlic, i està profundament vinculada amb la lògica proposicional.
- Lògica combinatòria: una de les desenvolupades més recentment, envolta resultats que poden ser desenvolupats mitjançant algoritmes.
- Programació lògica: usada en els diversos paquets i llenguatges de programació.
àrees
Entre les àrees que fan ús de la lògica matemàtica de manera indispensable en el desenvolupament dels seus raonaments i arguments, ressalten la filosofia, la teoria de conjunts, la teoria de nombres, la matemàtica constructiva algebraica i els llenguatges de programació.
referències
- Aylwin, CU (2011). Lògica, Conjunts i Números. Mèrida - Veneçuela: Consell de Publicacions, Universitat dels Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducció a la Teoria de Nombres. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Curs bàsic de teoria de nombres. Universitat de el Nord.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Com Desenvolupar El Raonament Lògic Matemàtica. Editorial Universitària.
- Saragossa, AC (sf). Teoria de nombres. Editorial Visió Llibres.