IDENTITATS PITAGÒRIQUES: DEMOSTRACIÓ, EXEMPLE, EXERCICIS - MATEMÀTIQUES - 2025

Són identitats pitagòriques totes les equacions trigonomètriques que es compleixen per a qualsevol valor de l'angle i estan fonamentades en el teorema de Pitàgores. La més famosa de les identitats pitagòriques és la identitat trigonomètrica fonamental:

Sen ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figura 1. Les identitats trigonomètriques pitagòriques.

El segueix en importància i ús la identitat pitagòrica de la tangent i la secant:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

I la identitat trigonomètrica pitagòrica que involucra a la cotangent ia la cosecant:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

demostració

Les raons trigonomètriques sinus i cosinus es representen en una circumferència de radi un (1) coneguda com cercle trigonomètric. Aquest cercle té centre en l'origen de coordenades O.

Els angles es mesuren a partir de l'semieix positiu de les X, per exemple l'angle α en la figura 2 (veure més endavant). En sentit contrari a les manetes de l'rellotge si l'angle és positiu, i en la direcció de les agulles si es tracta d'un angle negatiu.

Es traça la semirecta amb origen O i angle α, la qual intercepta a el cercle unitari en el punt P. El punt P es projecta ortogonalment sobre l'eix horitzontal X donant lloc a el punt C. Similarment P es projecta perpendicularment sobre l'eix vertical I donant lloc a el punt S.

Es té el triangle OCP rectangle en C.

El si i el cosinus

Cal recordar que la raó trigonomètrica si es defineix sobre un triangle rectangle de la següent manera:

El si d'un angle de el triangle és la raó o quocient entre el catet oposat a l'angle i la hipotenusa d'el triangle.

Aplicat a el triangle OCP de la figura 2 quedaria així:

Sen (α) = CP / OP

però CP = OS i OP = 1, de manera que:

Sen (α) = US

El que vol dir que la projecció US sobre l'eix I té un valor igual a el de el si de l'angle mostrat. Ha de notar-se que el màxim valor de el si d'un angle (+1) ocorre quan α = 90º i el mínim (-1) quan α = -90º o α = 270º.

Figura 2. Cercle trigonomètric mostrant la relació entre el teorema de Pitàgores i la identitat trigonomètrica fonamental. (Elaboració pròpia)

De manera similar el cosinus d'un angle és el quocient entre el catet adjacent a l'angle i la hipotenusa d'el triangle.

Aplicat a el triangle OCP de la figura 2 quedaria així:

Cos (α) = OC / OP

però OP = 1, de manera que:

Cos (α) = OC

El que vol dir que la projecció OC sobre l'eix X té un valor igual a el de el si de l'angle mostrat. Ha de notar-se que el màxim valor de l'cosinus (+1) ocorre quan α = 0º o α = 360º, mentre que el mínim valor de l'cosinus és (-1) quan α = 180º.

La identitat fonamental

Per al triangle OCP rectangle en C s'aplica el teorema de Pitàgores, el qual afirma que la suma de l'quadrat dels catets és igual a el quadrat de la hipotenusa:

CP ² + OC ² = OP ²

Però ja s'ha dit que CP = US = Sen (α), que OC = Cos (α) i que OP = 1, de manera que l'expressió anterior pot ser reescrita en funció de si i de el cosinus de l'angle:

Sen ² (α) + Cos ² (α) = 1

L'eix de la tangent

Així com l'eix X en el cercle trigonomètric és l'eix de l'cosinus i l'eix I l'eix de el si, de la mateixa manera hi ha l'eix de la tangent (veure figura 3) el qual és precisament la recta tangent a el cercle unitari en el punt B de coordenades (1, 0).

Si es vol saber el valor de la tangent d'un angle, es traça l'angle a partir d'el semieix positiu de les X, la intersecció de l'angle amb l'eix de la tangent defineix un punt Q, la longitud d'el segment OQ és la tangent de l' angle.

Això és perquè per definició, la tangent de l'angle α és el catet oposat QB entre el catet adjacent OB. És a dir Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figura 3. El cercle trigonomètric mostrant l'eix de la tangent i la identitat pitagòrica de la tangent. (Elaboració pròpia)

La identitat pitagòrica de la tangent

Pot demostrar la identitat pitagòrica de la tangent si es considera el triangle OBQ rectangle en B (figura 3). Aplicant el teorema de Pitàgores al dit triangle s'ha de BQ ² + OB ² = OQ ². Però ja s'ha dit que BQ = Tan (α), que OB = 1 i que OQ = Sec (α), de manera que substituint en la igualtat de Pitàgores per al triangle rectangle OBQ es té:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

exemple

Comproveu si es compleixen o no les identitats pitagòriques en el triangle rectangle de catets AB = 4 i BC = 3.

Solució: Es coneixen els catets, cal determinar la hipotenusa, la qual és:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

A l'angle ∡BAC se li dirà α, ∡BAC = α. Ara es determinen les raons trigonomètriques:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Tan α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Es comença per la identitat trigonomètrica fonamental:

Sen ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 + 16) / 25 = 25/25 = 1

Es conclou que es compleix.

- La propera identitat pitagòrica és la de la tangent:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

I es conclou que es verifica la identitat de la tangent.

- De manera similar la de la cotangent:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Es conclou que també es compleix, de manera que s'ha completat la tasca de verificar les identitats pitagòriques per al triangle donat.

exercicis resolts

Provar les següents identitats, fonamentant-se en les definicions de les raons trigonomètrica i les identitats pitagòriques.

exercici 1

Demostrar que Cos ² x = (1 + Sen x) (1 - Sen x).

Solució: En el membre dret es reconeix el producte notable de la multiplicació d'un binomi per la seva conjugat el qual, com se sap, és una diferència de quadrats:

Cos ² x = 1 ² - Sen ² x

Després el terme amb si en el costat dret passa a la banda esquerra amb el signe canviat:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Notant-se que s'ha arribat a la identitat trigonomètrica fonamental, per la qual cosa es conclou que l'expressió donada és una identitat, és a dir es compleix per a qualsevol valor de x.

exercici 2

Partint de la identitat trigonomètrica fonamental i usant les definicions de les raons trigonomètriques demostrar la identitat pitagòrica de la cosecant.

Solució: La identitat fonamental és:

Sen ² (x) + Cos ² (x) = 1

Es divideix els dos membres entre Sen ² (x) i es distribueix el denominador en el primer membre:

Sen ² (x) / sin ² (x) + Cos ² (x) / sin ² (x) = 1 / sin ² (x)

Es simplifica:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) és una identitat (no pitagòrica) que es verifica per la pròpia definició de les raons trigonomètriques. De la mateixa manera passa amb la següent identitat: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Finalment s'ha de:

1 + CTG ² (x) = Csc ² (x)

referències

1. Baldor J. (1973). Geometria plana i de l'espai amb una introducció a la trigonometria. Cultural Centroamericana. CA
2. CEA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellín.
3. Camps, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemàtiques 2. Grup Editorial Pàtria.
4. IGER. (Sf). Matemàtica Primer Semestre Tacaná. IGER.
5. Jr. geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemàtica: Raonament I Aplicacions (Desena Edició). Pearson Educació.
7. Patiño, M. (2006). Matemàtiques 5. Editorial Progrés.
8. Wikipedia. Identitats i fórmules de trigonometria. Recuperat de: es.wikipedia.com