HOMOTÈCIA: PROPIETATS, TIPUS I EXEMPLES - MATEMÀTIQUES - 2026

La homotècia és un canvi geomètric en el pla on, a partir d'un punt fix anomenat centre (O), es multipliquen les distàncies per un factor comú. D'aquesta manera, cada punt P correspon a un altre punt P 'producte de la transformació, i aquests es troben alineats amb el punt O.

Llavors, la homotècia es tracta d'una correspondència entre dues figures geomètriques, on els punts transformats són anomenats homotètics, i aquests es troben alineats amb un punt fix i amb segments paral·lels entre si.

homotècia

La homotècia és una transformació que no té una imatge congruent, perquè a partir d'una figura es van a obtenir una o més figures de major o menor grandària que la figura original; és a dir, que l'homotècia transforma un polígon en un altre semblant.

Perquè la homotècia es compleixi han de correspondre punt a punt i recta a recta, de manera que les parelles de punts homòlegs estiguin alineades amb un tercer punt fix, que és el centre de l'homotècia.

Així mateix, les parelles de rectes que els uneixen han de ser paral·leles. La relació entre aquests segments és una constant anomenada raó de l'homotècia (k); de tal manera que l'homotècia pot ser definida com:

Per fer aquest tipus de transformació es comença escollint un punt arbitrari, que serà el centre de l'homotècia.

A partir d'aquest punt es tracen segments de recta per a cada vèrtex de la figura que es transformarà. L'escala en la qual es fa la reproducció de la nova figura és donada per la raó de l'homotècia (k).

propietats

Una de les principals propietats de la homotècia és que, per la raó de l'homotècia (k), totes les figures homotètiques són semblants. Entre altres propietats destacades es troben les següents:

- El centre de l'homotècia (O) és l'únic punt doble i aquest es transforma en si mateix; és a dir, no varia.

- Les rectes que passen pel centre es transformen en si mateixes (són dobles), però els punts que la componen no són dobles.

- Les rectes que no passen pel centre es transformen en rectes paral·leles; d'aquesta forma, els angles de la homotècia es mantenen iguals.

- La imatge d'un segment per una homotècia de centre O i raó k, és un segment paral·lel a aquest i té k vegades la seva longitud. Per exemple, com s'observa en la següent imatge, un segment AB per homotècia resultarà un altre segment A'B ', de manera que AB serà paral·lel a A'B' i la k serà:

- Els angles homotètics són congruents; és a dir, tenen la mateixa mida. Per tant, la imatge d'un angle és un angle que té la seva mateixa amplitud.

D'altra banda, s'ha de l'homotècia varia en funció de la valor de la seva raó (k), i poden ocórrer els següents casos:

- Si la constant k = 1, tots els punts són fixos perquè es transformen a si mateixos. Així, la figura homotètica coincideix amb l'original i la transformació es dirà funció identitat.

- Si k ≠ 1, l'únic punt fix serà el centre de l'homotècia (O).

- Si k = -1, l'homotècia es converteix en una simetria central (C); és a dir, passarà una rotació al voltant de C, en un angle de 180 ^o.

- Si k> 1, la mida de la figura transformada serà major a la mida de l'original.

- Si 0 <k <1, la mida de la figura transformada serà menor que el de l'original.

- Si -1 <k <0, la mida de la figura transformada serà menor i estarà girat respecte a l'original.

- Si k <-1, la mida de la figura transformada serà més gran i estarà girat respecte a l'original.

tipus

La homotècia també pot ser classificada en dos tipus, en funció de la valor de la seva raó (k):

homotècia directa

Ocorre si la constant k> 0; és a dir, els punts homotètics es troben a la mateixa banda pel que fa a al centre:

El factor de proporcionalitat o raó de semblança entre les figures homotètiques directes sempre serà positiu.

homotècia inversa

Ocorre si la constant k <0; és a dir, els punts inicials i les seves homotètics se situen en els extrems oposats pel que fa a centre de l'homotècia però alineats a aquesta. El centre es trobarà entre les dues figures:

El factor de proporcionalitat o raó de semblança entre les figures homotètiques inverses sempre serà negatiu.

composició

Quan es realitzen successivament diversos moviments fins a obtenir una figura igual a l'original, ocorre una composició de moviments. La composició de diversos moviments és també un moviment.

La composició entre dues homotècies té com a resultat una nova homotècia; és a dir, es té un producte de homotècies en què el centre estarà alineat amb el centre de les dues transformacions originals, i la raó (k) és el producte de les dues raons.

Així, en la composició de dues homotècies H ₁ (O ₁, k ₁) i H ₂ (O ₂, k ₂), la multiplicació de les seves raons: k ₁ xk ₂ = 1 tindrà com a resultat una homotècia de raó k ₃ = k ₁ xk ₂. El centre d'aquesta nova homotècia (O ₃) estarà situat sobre la recta O ₁ O ₂.

La homotècia correspon a un canvi pla i irreversible; si s'apliquen dues homotècies que posseeixin igual centre i raó però amb diferent signe, s'obtindrà la figura original.

exemples

primer exemple

Aplicar una homotècia a polígon donat de centre (O), situat a 5 cm del punt A i la raó és k = 0,7.

solució

S'escull un punt qualsevol com a centre de l'homotècia, i des d'aquest es tracen semirectes pels vèrtexs de la figura:

S'ha de la distància des de centre (O) fins al punt A és OA = 5; amb aquesta es pot determinar la distància d'un dels punts homotètics (OA ') sabent també que k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

El procés pot fer-se per a cada vèrtex, o també es pot traçar el polígon homotètic recordant que els dos polígons tenen costats paral·lels:

Finalment, la transformació es veu de la següent manera:

segon exemple

Aplicar una homotècia a polígon donat de centre (O), situat a 8,5 cm de el punt C i la i raó k = -2.

solució

S'ha de la distància des de centre (O) fins al punt C és OC = 8,5; amb aquesta dada és possible determinar la distància d'un dels punts homotètics (OC '), sabent també que k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Després de traçar els segments dels vèrtexs d'polígon transformat, s'ha de els punts inicials i les seves homotètics se situen en els extrems oposats pel que fa a al centre:

referències

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Dibuix Tècnic: quadern d'activitats.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afinitat, Homologia i Homotècia.
3. Baer, ​​R. (2012). Linear Algebra and Projective Geometry. Courier Corporation.
4. Hebert, I. (1980). Matemàtiques generals, probabilitats i estadística.
5. Meserve, BE (2014). Fonamental Concepts of Geometry. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introducció a l'àlgebra. Reverte.