- Què són les dimensions?
- L'espai tridimensional
- La quarta dimensió i el temps
- Les coordenades d'un hipercub
- Desdoblat d'un hipercub
- referències
Un hipercub és una galleda de dimensió n. El cas particular de l'hipercub de dimensió 4 es diu teseracto. Un hipercub o n-cub consta de segments rectes, tots de la mateixa longitud que són ortogonals en els seus vèrtexs.
Els éssers humans percebem l'espai tridimensional: ample, alt i profunditat, però no ens és possible visualitzar un hipercub de dimensió més gran que 3.
Figura 1. Un 0-cub és un punt, si aquest punt s'estén en una direcció una distància a forma un 1-cub, si aquest 1-cub s'estén una distància a en la direcció ortogonal es té un 2-cub (de costats axa), si el 2-cub s'estén una distància a en la direcció ortogonal es té un 3-cub. Font: F. Zapata.
Com a màxim podem fer projeccions de el mateix en l'espai tridimensional per representar-lo, en forma semblant a com projectem una galleda en un pla per representar-lo.
En la dimensió 0 l'única figura és el punt, de manera que un 0-cub és un punt. Un 1-cub és un segment recte, el qual es forma a l'desplaçar un punt en una direcció una distància a.
Per la seva banda un 2-cub és un quadrat. Es construeix desplaçant l'1-cub (el segment de llarg a) en la direcció i, la qual és ortogonal a la direcció x, una distància a.
El 3-cub és el cub comú. Es construeix a partir de l'quadrat desplaçant el mateix en la tercera direcció (z), la qual és ortogonal a les adreces xiy, una distància a.
Figura 2. Un 4-cub (teseracto) és l'extensió d'un 3-cub en la direcció ortogonal a les tres direccions espacials convencionals. Font: F. Zapata.
El 4-cub és el teseracto, el qual es construeix a partir d'un 3-cub desplaçant el mateix ortogonalment, una distància a, cap a una quarta dimensió (o quarta direcció), la qual no podem percebre.
Un teseracto té tots els seus angles rectes, té 16 vèrtexs i totes les seves arestes (18 en total) tenen la mateixa longitud a.
Si la longitud de les arestes d'un n-cub o hipercub de dimensió n és 1, llavors es tracta d'un hipercub unitari, en el qual la diagonal més llarga mesura √n.
Figura 3. Un n-cub s'obté a partir d'un (n-1) -cubo estenent ortogonalment a la següent dimensió. Font: wikimedia commons.
Què són les dimensions?
Les dimensions són els graus de llibertat, o les possibles direccions en què un objecte pot traslladar-se.
En dimensió 0 no hi ha cap possibilitat de traslladar-se i l'únic objecte geomètric possible és el punt.
Una dimensió en l'espai euclidià es representa per una recta orientada o eix que defineix aquesta dimensió, anomenat l'eix X. La separació entre dos punts A i B és la distància euclidiana:
d = √.
En dues dimensions l'espai es representa per dues rectes orientades ortogonals entre si, anomenades eix X i eix Y.
La posició d'un punt qualsevol en aquest espai bidimensional està donada per la seva parell de coordenades cartesianes (x, y) i la distància entre dos punts A i B qualssevol serà:
d = √
Perquè es tracta d'un espai on es compleix la geometria d'Euclides.
L'espai tridimensional
L'espai tridimensional és l'espai en què ens movem. Té tres direccions: ample, alt i profunditat.
En una habitació buida les cantonades perpendiculars entre si donen aquestes tres direccions ia cadascuna podem associar un eix: X, Y, Z.
Aquest espai també és euclidià i la distància entre dos punts A i B es calcula de la següent manera:
d = √
Els éssers humans no podem percebre més que tres dimensions espacials (o euclidianes).
No obstant això, des del punt de vista estrictament matemàtic és possible definir un espai euclidià de n-dimensions.
En aquest espai un punt té coordenades: (x1, x2, x3,….., xn) i la distància entre dos punts és:
d = √.
La quarta dimensió i el temps
Efectivament, en teoria de relativitat el temps es tracta com una dimensió més i se li associa una coordenada.
Però cal aclarir que aquesta coordenada associada a el temps és un nombre imaginari. Per tant la separació de dos punts o esdeveniments en l'espai-temps no és euclidiana, sinó que segueix la mètrica de Lorentz.
Un hipercub de quatre dimensions (el teseracto) no viu en l'espai-temps, pertany a un hiper-espai euclidià de quatre dimensions.
Figura 4. Projecció 3D d'un hipercub de quatre dimensions en rotació simple al voltant d'un pla que divideix la figura d'endavant cap a l'esquerra, cap enrere cap a la dreta i de dalt a baix. Font: Wikimedia Commons.
Les coordenades d'un hipercub
Les coordenades dels vèrtexs d'un n-cub centrat en l'origen s'aconsegueixen a l'fer totes les permutacions possibles de la següent expressió:
(A / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
On a és la longitud de l'aresta.
-El volum d'un n-cub d'aresta a és: (a / 2) n (2 n) = a n.
-La diagonal més llarga és la distància entre vèrtexs oposats.
-Els següents són vèrtexs oposats en un quadrat: (-1, -1) i (+1, +1).
-I en un cub: (-1, -1, -1) i (+1, +1, +1).
-La diagonal més llarga d'un n-cub mesura:
d = √ = √ = 2√n
En aquest cas es va suposar que el costat és a = 2. Per a un n-cub de costat a qualsevol quedarà:
d = a√n.
-Un teseracto té cadascun dels seus 16 vèrtex connectat a quatre arestes. La següent figura mostra com es connecten els vèrtexs en un teseracto.
Figura 5. Es mostren els 16 vèrtexs d'un hipercub de quatre dimensions i com es connecten els mateixos. Font: Wikimedia Commons.
Desdoblat d'un hipercub
Un figura geomètrica regular, per exemple un poliedre, pot desdoblar-se en diverses figures de dimensionalitat menor.
En el cas d'un 2-cub (un quadrat) pot desdoblar en quatre segments, és a dir quatre 1-cub.
Similarment un 3-cub pot desdoblar en sis 2-cub.
Figura 6. Un n-cub pot desdoblar-se en diversos (n-1) -cubos. Font: Wikimedia Commons.
Un 4-cub (teseracto) pot desdoblar en vuit 3-cub.
La següent animació mostra el desdoblament d'un teseracto.
Figura 7. Un hipercub de 4 dimensions, pot desdoblar en vuit cubs tridimensionals. Font: Wikimedia Commons.
Figura 8. Projecció tridimensional d'un hipercub de quatre dimensions realitzant una rotació doble al voltant de dos plans ortogonals. Font: Wikimedia Commons.
referències
- Cultura científica. Hipercub, visualitzant la quarta dimensió. Recuperat de: culturacientifica.com
- Epsilones. Hipercub tetradimensional o tesseract. Recuperat de: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Un mètode per a l'obtenció d'un teseracto a partir d'el desenvolupament d'un hipercub (4D). Recuperat de: researchgate.net
- Viquillibres. Matemàtiques, Políedres, hipercubos. Recuperat de: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Recuperat de: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Recuperat de: en.wikipedia.com