- Característiques de l'heptadecágono
- Diagonals i perímetre
- Perímetre de l'heptadecágono
- àrea
- Àrea donat el costat
- Àrea donat el radi
- exemples
- exemple 1
- exemple 2
- referències
El heptadecágono és un polígon regular de 17 costats i 17 vèrtexs. La seva construcció es pot fer a l'estil euclidià, és a dir utilitzant només el regle i el compàs. Va ser el gran geni de les matemàtiques Carl Friedrich Gauss (1777-1855), comptant amb prou feines 18 anys d'edat, qui va trobar el procediment per a la seva construcció en 1796.
A l'sembla, Gauss es va sentir sempre molt inclinat per aquesta figura geomètrica, fins al punt que des del dia que va descobrir la seva construcció va decidir ser matemàtic. També s'explica que va voler que el heptadecágono fos gravat en la seva làpida.
Figura 1. El heptadecágono és un polígon regular de 17 costats i 17 vèrtexs. Font: F. Zapata.
Gauss també va trobar la fórmula per determinar quins polígons regulars tenen la possibilitat de construir-se amb regla i compàs, ja que alguns no tenen construcció euclidiana exacta.
Característiques de l'heptadecágono
Quant a les seves característiques, com tot polígon, és important la suma dels seus angles interns. En un polígon regular de n costats, la suma ve donada per:
Aquesta suma, expressada en radians queda així:
De les fórmules anteriors es pot deduir fàcilment que cada angle intern d'un heptadecágono té una mesura α exacta donada per:
Se segueix que l'angle intern en forma aproximada és:
Diagonals i perímetre
Les diagonals i el perímetre són altres aspectes importants. En qualsevol polígon el nombre de diagonals és:
D = n (n - 3) / 2 i en el cas de l'heptadecágono, com n = 17, es té llavors que D = 119 diagonals.
D'altra banda, si la longitud de cada costat de l'heptadecágono és coneguda, llavors el perímetre de l'heptadecágono regular es troba simplement sumant 17 vegades aquesta longitud, o el que és equivalent 17 vegades la longitud d de cada costat:
P = 17 d
Perímetre de l'heptadecágono
De vegades només es coneix el radi r de l'heptadecágono, pel que és necessari desenvolupar una fórmula per aquest cas.
Amb aquesta finalitat s'introdueix el concepte d'apotema. L'apotema és el segment que va des del centre de polígon regular fins al punt mitjà d'un costat. El apotema relatiu a un costat és perpendicular a aquest costat (veure figura 2).
Figura 2. Es mostren les parts d'un polígon regular de radi ri la seva apotema. (Elaboració pròpia)
A més l'apotema és bisectriu de l'angle amb vèrtex central i costats sobre dos vèrtexs consecutius de polígon, això permet trobar una relació entre el radi ri el costat d.
Si s'anomena β a l'angle central DOE i tenint en compte que l'apotema OJ és bisectriu es té EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), d'on es té una relació per trobar la longitud d de el costat d'un polígon conegut el seu radi ri el seu angle central β:
d = 2 r Sen (β / 2)
En el cas de l'heptadecágono β = 360º / 17 pel que es té:
d = 2 r Sen (180 º / 17) ≈ 0,3675 r
Finalment s'obté la fórmula de l'perímetre de l'heptadecágono conegut el seu radi:
P = 34 r Sen (180 º / 17) ≈ 6.2475 r
El perímetre d'un heptadecágono s'acosta a el perímetre de la circumferència que ho circumscriu, però el seu valor és menor, val a dir que el perímetre de la circumferència circumscrita és Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.
àrea
Per determinar l'àrea de l'heptadecágono ens referirem a la figura 2, en la qual es mostren els costats i l'apotema d'un polígon regular de n costats. En aquesta figura el triangle EOD té una àrea igual a la base d (costat de polígon) per l'altura a (apotema d'polígon) divideixi entre 2:
Àrea EOD = (DXA) / 2
De manera que conegut l'apotema a de l'heptadecágono i el costat d de el mateix la seva àrea és:
Àrea heptadecágono = (17/2) (DXA)
Àrea donat el costat
Per aconseguir una fórmula per l'àrea de l'heptadecágono coneixent la longitud dels seus disset costats, és necessari aconseguir una relació entre la longitud de l'apotema ai el costat d.
En referència a la figura 2 es té la següent relació trigonomètrica:
Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, sent β a l'angle central DOE. De manera que l'apotema a pot calcular si es coneix la longitud d de la banda de l'polígon i l'angle central β:
a = (d / 2) Cotan (β / 2)
Si ara se substitueix aquesta expressió per l'apotema, a la fórmula de l'àrea de l'heptadecágono obtinguda en la secció prèvia, es té:
Àrea heptadecágono = (17/4) (d 2) Cotan (β / 2)
Sent β = 360º / 17 per al heptadecágono, pel que es té finalment la fórmula desitjada:
Àrea heptadecágono = (17/4) (d 2) Cotan (180º / 17)
Àrea donat el radi
A les seccions prèvies s'havia trobat una relació entre el costat d d'un polígon regular i el seu radi r, sent aquesta relació la següent:
d = 2 r Sen (β / 2)
Aquesta expressió per d s'introdueix en l'expressió obtinguda a l'apartat anterior per a l'àrea. Si es fan les substitucions i simplificacions pertinents, s'obté la fórmula que permet calcular l'àrea d'el heptadecágono:
Àrea heptadecágono = (17/2) (r 2) Sen (β) = (17/2) (r 2) Sen (360º / 17)
Una expressió aproximada per a l'àrea és:
Àrea heptadecágono = 3,0706 (r 2)
Com era d'esperar, aquesta àrea és una mica menor que l'àrea de l'cercle que circumscriu a l'heptadecágono A circ = π r 2 ≈ 3,1416 r 2. Per ser precisos, és 2% menor que la del seu cercle circumscrit.
exemples
exemple 1
Per respondre la pregunta cal recordar la relació que hi ha entre el costat i el radi d'un polígon regular de n costats:
d = 2 r Sen (180º / n)
Per al heptadecágono n = 17, de manera que d = 0,3675 r, és a dir que el radi de l'heptadecágono és r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm o
10,8844 cm de diàmetre.
El perímetre d'un heptadecágono de 2 cm de costat és P = 17 * 2 cm = 34 cm.
exemple 2
Cal remetre a la fórmula demostrada en la secció precedent, que permet trobar l'àrea d'un heptadecágono quan es té la longitud d del seu costat:
Àrea heptadecágono = (17/4) (d 2) / Tan (180 º / 17)
A l'substituir d = 2 cm a la fórmula anterior s'obté:
Àrea = 90,94 cm
referències
- CEA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria de el compàs. Universitat De Medellín.
- Camps, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemàtiques 2. Grup Editorial Pàtria.
- Freed, K. (2007). Discover Polygons. Benchmark Education Company.
- Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
- IGER. (Sf). Matemàtica Primer Semestre Tacaná. IGER.
- Jr. geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemàtica: Raonament I Aplicacions (Desena Edició). Pearson Educació.
- Patiño, M. (2006). Matemàtiques 5. Editorial Progrés.
- Sada, M. Polígon regular de 17 costats amb regle i compàs. Recuperat de: geogebra.org
- Wikipedia. Heptadecágono. Recuperat de: es.wikipedia.com