- Exemples de grau d'un polinomi
- Taula 1. Exemples de polinomis i els seus graus
- Procediment per treballar amb polinomis
- Ordenar, reduir i completar un polinomi
- Importància de l'grau d'un polinomi en la suma i la resta
- exercicis resolts
- - Exercici resolt 1
- solució
- - Exercici resolt 2
- solució
- referències
El grau d'un polinomi en una variable ve donat pel terme que tingui l'exponent més gran, i si el polinomi té dues o més variables, llavors el grau es determina mitjançant la suma dels exponents de cada terme, sent la suma més gran el grau de l'polinomi.
Vegem com determinar el grau de el polinomi d'una manera pràctica.
Figura 1. La famosa equació d'Einstein per a l'energia E és un monomi de grau absolut 1 per a la variable massa, denotada per m, ja que la velocitat de la llum c es considera constant. Font: Piqsels.
Suposem el polinomi P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Aquest polinomi és d'una variable, en aquest cas es tracta de la variable x. Aquest polinomi consta de diversos termes, que són els següents:
I ara quin és l'exponent? La resposta és 3. Per tant P (x) és un polinomi de grau 3.
Si el polinomi en qüestió té més d'una variable, llavors el grau pot ser:
-Absoluto
-En relació a una variable
El grau absolut es troba com es va explicar a l'començament: sumant els exponents de cada terme i seleccionant el més gran.
En canvi, el grau de l'polinomi respecte a una de les variables o lletres, és el valor més gran de l'exponent que tingui aquesta lletra. El punt quedarà més clar amb els exemples i exercicis resolts de les següents seccions.
Exemples de grau d'un polinomi
Els polinomis poden classificar-se pel grau, podent ser de primer grau, segon grau, tercer grau i així successivament. Per a l'exemple de la figura 1, l'energia és un monomi de primer grau per la massa.
També és important observar que el nombre de termes que té un polinomi és igual a el grau més 1. Així:
-Els polinomis de primer grau tenen 2 termes: a 1 x + a o
-El polinomi de segon grau té 3 termes: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Un polinomi de tercer grau posseeix 4 termes: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o
I així successivament. El lector atent haurà observat que els polinomis dels exemples anteriors estan escrits en forma decreixent, és a dir, col·locant primer el terme amb el grau més gran.
A la següent taula apareixen diversos polinomis, tant d'una com de diverses variables i els seus respectius graus absoluts:
Taula 1. Exemples de polinomis i els seus graus
| polinomi | grau |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x +3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | 1 |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + b 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 i 5 + 5x 2 i 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Els dos últims polinomis tenen més d'una variable. D'ells s'ha destacat en negreta el terme que posseeix el major grau absolut, perquè el lector comprovi ràpidament el grau. Important recordar que quan la variable no té exponent escrit, s'entén que aquest exponent és igual a 1.
Per exemple en el terme destacat ab 3 x 2 hi ha tres variables, a saber: a, byx. En aquest terme, a està elevat a la 1, és a dir:
a = a 1
Per tant ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Ja que l'exponent de b és 3 i el de x és 2, se segueix immediatament que el grau d'aquest terme és:
1 + 3 + 2 = 6
I és el grau absolut de l'polinomi, ja que cap altre dels termes posseeix un grau més gran.
Procediment per treballar amb polinomis
A l'treballar amb polinomis és important prestar atenció a el grau d'ell mateix, ja que en primer lloc i abans de realitzar qualsevol operació, és convenient seguir aquests passos, en els quals el grau ofereix una informació molt important:
-Ordenar el polinomi de preferència en sentit decreixent. D'aquesta manera, el terme amb el grau major es troba a l'esquerra i el de menor grau a la dreta.
-Reduir termes semblants, un procediment que consisteix a sumar algebraicament tots els termes d'igual variable i grau que es troben en l'expressió.
-De ser precís, els polinomis es completen, intercalant termes el coeficient sigui 0, en cas que faltin termes amb algun exponent.
Ordenar, reduir i completar un polinomi
Donat el polinomi P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 es demana ordenar-ho en forma decreixent, reduir els termes semblants si n'hi ha i completar els termes que faltin de ser precís.
El primer que s'ha de buscar és el terme amb l'exponent més gran, que és el grau de l'polinomi, el qual resulta ser:
x 7
Per tant P (x) és de grau 7. Tot seguit s'ordena el polinomi, començant amb aquest terme a l'esquerra:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Ara es redueixen els termes semblants, que són els següents: - 2x i 3x per un costat. I 7 i -12 per l'altre. Per reduir-se sumen algebraicament els coeficients i es deixa inalterada la variable (si la variable no apareix al costat de l'coeficient cal recordar que x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Es substitueixen aquests resultats en P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
I finalment s'examina el polinomi a veure si falta algun exponent i en efecte, cal un terme l'exponent sigui 6, per tant es completa amb zeros així:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Ara s'observa que el polinomi va quedar amb 8 termes, ja que com es va dir abans, el nombre de termes és igual a el grau + 1.
Importància de l'grau d'un polinomi en la suma i la resta
Amb els polinomis es poden realitzar operacions de suma i resta, en les quals només se sumen o resten els termes semblants, que són els que tenen la mateixa variable i el mateix grau. Si no hi ha termes semblants, la suma o la resta es deixa simplement indicada.
Un cop realitzada la suma o la resta, aquesta última essent la suma de l'oposat, el grau de l'polinomi resultant sempre és igual o menor que el grau de l'polinomi sumant de major grau.
exercicis resolts
- Exercici resolt 1
Trobar la següent suma i determinar el seu grau absolut:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
solució
Es tracta d'un polinomi de dues variables, de manera que és convenient anar reduint els termes semblants:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= A 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5A 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Tots dos termes són de grau 3 en cada variable. Per tant el grau absolut de l'polinomi es 3.
- Exercici resolt 2
Expressar com polinomi l'àrea de la següent figura geomètrica plana (figura 2 esquerra). Quin és el grau de polinomi resultant?
Figura 2. A l'esquerra, la figura per a l'exercici resolt 2 ia la dreta, la mateixa figura descomposta en tres àrees la expressió és coneguda. Font: F. Zapata.
solució
A l'tractar-se d'una àrea, el polinomi resultant ha de ser de grau 2 a la variable x. Per determinar una expressió adequada per a l'àrea, es descompon la figura en àrees conegudes:
L'àrea d'un rectangle i d'un triangle són respectivament: base x alçada i base x altura / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Nota: la base de el triangle és 3x - x = 2x i la seva altura és de 5.
Ara se sumen les tres expressions obtingudes, amb això es té l'àrea de la figura en funció de x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
referències
- Baldor, A. 1974. Àlgebra Elemental. Cultural Veneçolana SA
- Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
- Viquillibres. Polinomis. Recuperat de: és. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grau (polinomi). Recuperat de: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Àlgebra i Trigonometria. Mac Graw Hill.