- Història de la geometria analítica
- Principals representants de la geometria analítica
- Pierre de Fermat
- René Descartes
- Elements fonamentals de la geometria analítica
- El sistema de coordenades cartesianes
- Sistemes de coordenades rectangulars
- Sistema de coordenades polars
- Equació cartesiana de la recta
- línia recta
- còniques
- circumferència
- paràbola
- el·lipse
- hipèrbola
- aplicacions
- antena parabòlica
- ponts penjants
- anàlisi astronòmic
- telescopi Cassegrain
- referències
La geometria analítica estudia les línies i figures geomètriques mitjançant l'aplicació de tècniques bàsiques d'àlgebra i anàlisi matemàtica en un determinat sistema de coordenades.
En conseqüència, la geometria analítica és una branca de les matemàtiques que analitza en detall totes les dades de les figures geomètriques, és a dir, el volum, els angles, l'àrea, els punts d'intersecció, les seves distàncies, entre d'altres.
La característica fonamental de la geometria analítica és que permet la representació de les figures geomètriques a través de fórmules.
Per exemple, les circumferència són representades per equacions polinòmiques de segon grau mentre que les rectes són expressades amb equacions polinòmiques de primer grau.
La geometria analítica sorgeix al segle XVII per la necessitat de donar respostes a problemes que fins al moment no tenien solució. Va tenir com a màxims representants a René Descartes i Pierre de Fermat.
En l'actualitat molts autors l'assenyalen com una creació revolucionària en la història de les matemàtiques, ja que representa l'inici de les matemàtiques modernes.
Història de la geometria analítica
El terme geometria analítica sorgeix a França al segle XVII per la necessitat de donar respostes a problemes que no podien resoldre usant l'àlgebra i la geometria de forma aïllada, sinó que la solució estava en l'ús combinat d'ambdues.
Principals representants de la geometria analítica
Durant el segle XVII dos francesos per casualitats de la vida van realitzar investigacions que d'una manera o una altra van acabar en la creació de la geometria analítica. Aquestes persones van ser Pierre de Fermat i René Descartes.
En l'actualitat es considera que el creador de la geometria analítica va ser René Descartes. Això es deu al fet que va publicar el seu llibre abans que el de Fermat i també a la profunditat amb la Descartes tracta el tema de la geometria analítica.
No obstant això, tant Fermat com Descartes van descobrir que les línies i la figures geomètriques podien ser expressades mitjançant equacions i la equacions podien expressar-se com línies o figures geomètriques.
D'acord als descobriments realitzats pels dos es pot dir que tots dos són els creadors de la geometria analítica.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat va ser un matemàtic francès que va néixer el 1601 i va morir a 1665. Durant la seva vida va realitzar estudis a la geometria d'Euclides, d'Apol·loni i de Pappus, amb l'objecte de solucionar els problemes de mesurament que existien per a aquesta època.
Posteriorment aquests estudis van desencadenar la creació de la geometria. Els mateixos van acabar sent expressats en el seu llibre "Introducció als llocs plans i sòlids" (Ad Bojos Plans et Solguts Isagoge), que va ser publicat 14 anys després de la seva mort en 1679.
Pierre de Fermat va aplicar en 1623 la geometria analítica als teoremes d'Apolonio sobre els llocs geomètrics. També va ser qui va aplicar per primera vegada la geometria analítica a l'espai de tres dimensions.
René Descartes
També conegut com Cartesius va ser un matemàtic, físic i filòsof que va néixer el 31 de març de 1596 a França i va morir a l'any 1650.
René Descartes va publicar en 1637 el seu llibre "Discurs sobre el mètode de conduir rectament la raó i buscar la veritat en les ciències" millor conegut com "El Mètode" i des d'allà es va introduir el terme geometria analítica a el món. Un dels seus apèndixs era "La Geometria".
Elements fonamentals de la geometria analítica
La geometria analítica està conformada pels següents elements:
El sistema de coordenades cartesianes
Aquest sistema es denomina així en honor a René Descartes.
No va ser ell qui el va nomenar, ni qui va completar el sistema de coordenades cartesianes, però si va ser qui va parlar de coordenades amb nombres positius permetent que futurs estudiosos ho completessin.
Aquest sistema està compost pel sistema de coordenades rectangulars i el sistema de coordenades polars.
Sistemes de coordenades rectangulars
Se li denomina sistemes de coordenades rectangulars a l'àmbit format pel traç de dues rectes numèriques perpendiculars entre si, on el punt de tall coincideix amb el zero comú.
Llavors aquest sistema quedaria conformat per una recta horitzontal i una altra vertical.
La recta horitzontal és l'eix de les X o l'eix de les abscisses. La recta vertical seria l'eix de les Y o l'eix de les ordenades.
Sistema de coordenades polars
Aquest sistema s'encarrega de verificar la posició relativa d'un punt en relació a una recta fixa ia un punt fix sobre la recta.
Equació cartesiana de la recta
Aquesta equació s'obté d'una recta quan es coneixen dos punts per on passa la mateixa.
línia recta
És aquella que no es desvia i per tant no té ni corbes ni angles.
còniques
Són les corbes definides per les rectes que passen per un punt fix i pels punts d'una corba.
L'el·lipse, la circumferència, la paràbola i la hipèrbola són corbes còniques. A continuació es descriuen cadascuna d'elles.
circumferència
Se li denomina circumferència a la corba plana tancada que és formada per tots els punts de l'plànol que equidisten d'un punt interior, és a dir, de centre de la circumferència.
paràbola
És el lloc geomètric dels punts de el plànol que equidisten d'un punt fix (focus) i d'una recta fixa (directriu). Llavors, la directriu i el focus són els que defineixen la paràbola.
La paràbola pot ser obtinguda com a secció d'una superfície cònica de revolució per un pla paral·lel a una generatriu.
el·lipse
S'anomena el·lipse a la corba tancada que descriu un punt a l'moure en un pla de tal manera que la suma de les seves distàncies a dos (2) punts fixos (anomenats focus), és constant.
hipèrbola
S'anomena hipèrbola a la corba definida com el lloc geomètric dels punts de el pla, per als quals la diferència entre les distàncies de dos punts fixos (focus) és constant.
La hipèrbola té un eix de simetria que passa pels focus, denominat eix focal. També té un altre que és la mediatriu d'el segment que té als punts fixos per extrems.
aplicacions
Existeixen variades aplicacions de la geometria analítica en diferents àmbits de la vida diària. Per exemple, podem trobar la paràbola, un dels elements fonamentals de la geometria analítica, en moltes de les eines que s'utilitzen quotidianament en l'actualitat. Algunes d'aquestes eines són les següents:
antena parabòlica
Les antenes parabòliques compten amb un reflector generat com a conseqüència d'una paràbola que gira sobre l'eix d'aquesta antena. La superfície que es genera com a resultat d'aquesta acció porta per nom paraboloide.
Aquesta capacitat de l'paraboloide és denominada propietat òptica o propietat de reflexió d'una paràbola, i gràcies a aquesta és possible que el paraboloide reflecteixi les ones electromagnètiques que rep de l'mecanisme d'alimentació que compon a l'antena.
ponts penjants
Quan una soga sosté un pes que és homogeni però que, alhora, és considerablement major a el pes de la pròpia soga, el resultat serà una paràbola.
Aquest principi és fonamental per a la construcció de ponts penjants, que solen estar sostinguts per àmplies estructures de cables d'acer.
El principi de la paràbola en ponts penjants ha estat utilitzat en estructures com el pont Golden Gate, ubicat a la ciutat de San Francisco, als Estats Units, o el Gran Pont de l'Estret d'Akashi, que es troba al Japó i uneix l'illa de Awaji amb Honshū, illa principal d'aquest país.
anàlisi astronòmic
La geometria analítica també ha tingut usos molt concrets i determinants en l'àmbit de l'astronomia. En aquest cas, l'element de la geometria analítica que pren protagonisme és l'el·lipse; la llei de el moviment dels planetes de Johannes Kepler és reflex.
Kepler, matemàtic i astrònom alemany, va determinar que era l'el·lipse la corba que s'ajustava millor a el moviment de Mart; prèviament havia provat el model circular proposat per Copèrnic, però enmig de les seves experimentacions, va deduir que l'el·lipse servia per dibuixar una òrbita perfectament similar a la del planeta que estudiava.
Gràcies a l'el·lipse, Kepler va poder afirmar que els planetes es movien en òrbites el·líptiques; aquesta consideració va ser l'enunciat de l'anomenada segona llei de Kepler.
A partir d'aquest descobriment, enriquit més endavant pel físic i matemàtic anglès Isaac Newton, va ser possible estudiar els moviments orbitacionales dels planetes, i augmentar el coneixement que es tenia sobre l'univers de què formem part.
telescopi Cassegrain
El telescopi Cassegrain porta el seu nom en honor al seu inventor, el físic d'origen francès Laurent Cassegrain. En aquest telescopi s'utilitzen els principis de la geometria analítica perquè està compost principalment per dos miralls: el primer és de forma còncava i parabòlica, i el segon es caracteritza per ser convex i hiperbòlic.
La ubicació i naturalesa d'aquests miralls permet que el defecte conegut com aberració esfèrica no tingui lloc; aquest defecte impedeix que els raigs de llum es reflecteixin en el focus d'un lent determinat.
El telescopi Cassegrain és molt útil per a l'observació planetària, a més de ser bastant versàtil i senzill d'utilitzar.
referències
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de britannica.com
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de encyclopediafmath.org
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de khancademy.org
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de wikipedia.org
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de whitman.edu
- Analytic Geometry. Recuperat el 20 d'octubre de 2017, de stewartcalculus.com
- Plane analytical geometry.Recuperado el 20 d'octubre de 2017