- Definició i propietats
- funció exponencial
- Propietats de la funció exponencial
- funció logarítmica
- Propietats de la funció logaritme
- Funcions sinus, cosinus i tangent
- Derivades i integrals
- Derivada de la funció exponencial
- Integral de la funció exponencial
- Taula de derivades i integrals de les funcions transcendents
- exemples
- exemple 1
- exemple 2
- referències
Les funcions transcendents elementals són les exponencials, les logarítmiques, les trigonomètriques, les funcions trigonomètriques inverses, les hiperbòliques i les hiperbòliques inverses. És a dir, són aquelles que no poden ser expressades mitjançant un polinomi, un quocient de polinomis o arrels de polinomis.
Les funcions transcendents no-elementals, també se li coneixen com a funcions especials i entre elles pot nomenar-se la funció error. Les funcions algebraiques (polinomis, quocients de polinomis i arrels de polinomis) al costat de les funcions transcendents elementals constitueixen el que en matemàtiques es coneix com a funcions elementals.
Es consideren funcions transcendents també les que resulten d'operacions entre funcions transcendents o entre funcions transcendents i algebraiques. Aquestes operacions són: la suma i diferència de funcions, producte i quocient de funcions, així com la composició de dues o més funcions.
Definició i propietats
funció exponencial
És una funció real de variable independent real de la forma:
f (x) = a ^ x = a x
on a és un nombre real positiu (a> 0) fix denominat la base. El circumflex o el superíndex s'usen per denotar l'operació de potenciació.
Posem per cas que a = 2 llavors la funció queda així:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
La qual s'avaluarà per a diversos valors de la variable independent x:
A continuació es mostra un gràfic on es representa la funció exponencial per a diversos valors de la base, incloent la base i (nombre de Neper i ≃ 2.72). La base i és tan important que, en general, quan es parla de funció exponencial es pensa en e ^ x, que també es denota exp (x).
Figura 1. Funció exponencial a ^ x, per a diversos valors de la base a. (Elaboració pròpia)
Propietats de la funció exponencial
De la figura 1 es pot observar que el domini de les funcions exponencials són els números reals (Dom f = R) i el rang o recorregut són els reals positius (Ran f = R +).
D'altra banda, sense importar el valor de la base a, totes les funcions exponencials passen pel punt (0, 1) i pel punt (1, a).
Quan la base a> 1, llavors la funció és creixent i quan 0 <a <1 la funció és decreixent.
Les corbes de i = a ^ xi de y = (1 / a) ^ x són simètriques respecte a l'eix I.
Amb excepció de el cas a = 1, la funció exponencial és injectiva, és a dir a cada valor de la imatge correspon un i només un valor de partida.
funció logarítmica
És una funció real de variable independent real basada en la definició de logaritme d'un nombre. El logaritme en base a d'un nombre x, és el nombre i a el qual ha d'elevar-la base per obtenir l'argument x:
log a (x) = i ⇔ a ^ i = x
És a dir, que la funció logaritme en base a és la funció inversa a la funció exponencial en base a.
Per exemple:
log 2 1 = 0, ja que 2 ^ 0 = 1
Un altre cas, log 2 4 = 2, perquè 2 ^ 2 = 4
El logaritme d'arrel de 2 és log 2 √2 = ½, pel fet que 2 ^ ½ = √2
log 2 ¼ = -2, en vista que 2 ^ (- 2) = ¼
A continuació es mostra un gràfic de la funció logaritme en diverses bases.
Figura 2. Funció exponencial per a diferents valors de la base. (Elaboració pròpia)
Propietats de la funció logaritme
El domini de la funció logaritme i (x) = log a (x) són els números reals positius R +. El rang o recorregut són els números reals R.
Independentment de la base, la funció logaritme sempre passa pel punt (1,0) i el punt (a, 1) pertany a la gràfica d'aquesta funció.
En el cas que la base a sigui més gran que la unitat (a> 1) la funció logaritme és creixent. Però si (0 <a <1) llavors és una funció decreixent.
Funcions sinus, cosinus i tangent
La funció si assigna un nombre real ia cada valor x, on x representa la mesura d'un angle en radians. Per obtenir el valor de l'Sen (x) d'un angle, es representa l'angle en el cercle unitari i la projecció d'aquest angle sobre l'eix vertical és el si corresponent a aquest angle.
A continuació es mostra (a la figura 3) el cercle trigonomètric i el si per a diversos valors angulars X1, X2, X3 i X4.
Figura 3. Cercle trigonomètric i el Si de diversos angles. (Elaboració pròpia)
Definida en aquesta forma el màxim valor que pot tenir la funció Sen (x) és 1, el qual ocorre quan x = π / 2 + 2π n, sent n un nombre enter (0, ± 1, ± 2,). El mínim valor que pot prendre la funció Sen (x) passa quan x = 3π / 2 + 2π n.
La funció cosinus i = Cos (x) es defineix en forma semblant, però la projecció de les posicions angulars P1, P2, etc es realitza sobre l'eix horitzontal de l'cercle trigonomètric.
D'altra banda, la funció i = Tan (x) és el quocient entre la funció si i la funció cosinus.
Tot seguit es mostra un gràfic de les funcions transcendents Sen (x), Cos (x) i Tan (x)
Figura 4. Gràfic de les funcions transcendents, Si, Cosinus i Tangent. (Elaboració pròpia)
Derivades i integrals
Derivada de la funció exponencial
La derivada i 'de la funció exponencial i = a ^ x és la funció a ^ x multiplicada pel logaritme neperià de la base a:
i '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
En el cas particular de la base i, la derivada de la funció exponencial és la pròpia funció exponencial.
Integral de la funció exponencial
La integral indefinida d'a ^ x és la pròpia funció dividida entre el logaritme neperià de la base.
En el cas particular de la base i, la integral de la funció exponencial és la pròpia funció exponencial.
Taula de derivades i integrals de les funcions transcendents
A continuació es mostra una taula resum de les principals funcions transcendents, les seves derivades i integrals indefinides (antiderivades):
Taula de derivades i integrals indefinides per a algunes funcions transcendents. (Elaboració pròpia)
exemples
exemple 1
Trobar la funció resultant de la composició de la funció f (x) = x ^ 3 amb la funció g (x) = cos (x):
(fog) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
La seva derivada i la seva integral indefinida és:
exemple 2
Trobar la composició de la funció g amb la funció f, sent gif les funcions definides en l'exemple anterior:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3)
Ha de notar-se que la composició de funcions no és una operació commutativa.
La derivada i la integral indefinida per a aquesta funció són respectivament:
La integral es va deixar indicada pel fet que no és possible escriure el resultat com a combinació de funcions elementals en forma exacta.
referències
- Calculus of a Single Variable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov. 2008
- The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 nov. 2012
- Multivariable Analysis. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media 13 des. 2010
- System Dynamics: Modeling, Simulation, and Control of Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
- Calculus: Mathematics and Modeling. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ena. 1999
- wikipedia. Funció transcendent. Recuperat de: es.wikipedia.com