- propietats
- Condicionament de funcions
- Exemples: exercicis resolts
- exercici 1
- exercici 2
- exercici 4
- exercici 4
- exercici 5
- exercicis proposats
- referències
Una funció exhaustiva és tota relació on cada element pertanyent a l'codomini és imatge de al menys un element de l'domini. També conegudes com a funció sobre, són part de la classificació de funcions pel que fa a la forma en què es relacionen els seus elements.
Per exemple una funció F: A → B definida per F (x) = 2x
La qual cosa es llegeix " F que va de A fins B definida per F (x) = 2x"
Toca definir els conjunts de partida i arribada A i B.
A: {1, 2, 3, 4, 5} Ara els valors o imatges que llançaran cada un d'aquests elements a l'ésser avaluats en F, seran els elements de l'codominio.
F (1) = 2
F (2) = 4
F (3) = 6
F (4) = 8
F (5) = 10
Formant així el conjunt B: {2, 4, 6, 8, 10}
Es pot concloure llavors que:
F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definida per F (x) = 2x És una funció exhaustiva
Cada element de l'codominio, ha de resultar de al menys una operació de la variable independent a través de la funció en qüestió. No hi limitant d'imatges, un element de l'codominio pot ser imatge de més d'un element de l'domini i seguir tractant d'una funció exhaustiva.
A la imatge es mostren 2 exemples amb funcions sobreyectivas.
Font: Autor
A la primera s'observa que les imatges poden ser referides d'un mateix element, sense això comprometre la sobreyectividad de la funció.
A la segona veiem una distribució equitativa entre domini i imatges. Això dóna peu a la funció bijectiva, on s'han de complir els criteris de funció injectiva i funció exhaustiva.
Un altre mètode per identificar les funcions sobreyectivas, és verificar si el codomini és igual a la franja de la funció. Això vol dir que si el conjunt d'arribada és igual a les imatges que proporciona la funció a l'avaluar la variable independent, la funció és sobreyectiva.
propietats
Per considerar sobreyectiva a una funció s'ha de complir el següent:
Sigui F: D f → C f
∀ b ℮ C f I a ℮ D f / F (a) = b
Aquesta és la manera algebraica per establir que per a tot "b" que pertany a C f ha un "a" que pertany a D f tal que, la funció F avaluada en "a" és igual a "b".
La sobreyectividad és una particularitat de les funcions, on el codomini i el rang són semblants. Així, els elements avaluats en la funció componen el conjunt d'arribada.
Condicionament de funcions
De vegades una funció que no és sobreyectiva, es pot sotmetre a certs condicionaments. Ets noves condicions poden convertir-la en una funció exhaustiva.
Són vàlids tot tipus de modificacions a el domini i codomini de la funció, on el objetico és complir les propietats de sobreyectividad en la relació corresponent.
Exemples: exercicis resolts
Per complir les condicions de sobreyectividad s'han d'aplicar diferents tècniques de condicionament, això amb la finalitat d'aconseguir que cada element de l'codomini estigui dins el conjunt d'imatges de la funció.
exercici 1
- Sigui la funció F: R → R definida per la recta F (x) = 8 - x
R:
Font: autor
En aquest cas la funció descriu una recta contínua, la qual abasta tots els números reals tant en el seu domini com rang. A causa de que el rang de la funció R f és igual a l'codomini R es pot concloure que:
F: R → R definida per la recta F (x) = 8 - x és una funció exhaustiva.
Això s'aplica per a totes les funcions lineals (Funcions el major grau de la variable és un).
exercici 2
- Estudiar la funció F: R → R definida per F (x) = x 2: Definir si és una funció exhaustiva. En cas de no ser-ho, mostri els condicionaments necessaris per fer-la sobreyectiva.
Font: autor
El primer a tenir en compte és el codomini de F, el qual es compon dels nombres reals R. No existeix forma que la funció llanci valor negatius, el que exclou els reals negatius d'entre les possibles imatges.
Condicionant el codomini a l'interval. S'evita deixar elements de l'codomini sense relacionar a través de F.
Les imatges es repeteixen per parells d'elements de la variable independent, com ara x = 1 i x = - 1. Però això només afecta la injectivitat de la funció, i no és un problema per a aquest estudi.
D'aquesta manera es pot concloure que:
F: R → . Aquest interval ha de condicionar el codomini per aconseguir la sobreyectividad de la funció.
Original text
F: R → definida per F (x) = Sen (x) És una funció exhaustiva
F: R → definida per F (x) = Cos (x) És una funció exhaustiva
exercici 4
- Estudiar la funció
F:).push ({});
Font: Autor
La funció F (x) = ± √x posseeix la particularitat que defineix 2 variables dependents a cada valor de "x". És a dir, el rang rep 2 elements per cada un que s'efectua en el domini. S'ha de verificar un valor positiu i negatiu per a cada valor de "x".
A l'observar el conjunt de partida es nota que el domini ja ha estat restringit, això en pro d'evitar les indeterminacions produïdes a l'avaluar un nombre negatiu dins d'una arrel parell.
A l'verificar el rang de la funció es nota que a cada valor de l'codomini pertany a la franja.
D'aquesta manera es pot concloure que:
F: [0, ∞) → R definida per F (x) = ± √x És una funció exhaustiva
exercici 4
- Estudiar la funció F (x) = L n x denoti si es tracta d'una funció exhaustiva. Condicioni els conjunts d'arribada i partida per adaptar la funció als criteris de sobreyectividad.
Font: Autor
Tal com es mostra en la gràfica la funció F (x) = L n x està definida per als valors de "x" més grans que zero. Mentre els valors de "i" o les imatges poden prendre qualsevol valor real.
D'aquesta manera podem restringir el domini de F (x) = a l'interval (0, ∞)
Mentre el rang de la funció es pot mantenir com el conjunt dels nombres reals R.
Considerant això es pot concloure que:
F: [0, ∞) → R definida per F (x) = L n x És una funció exhaustiva
exercici 5
- Estudiar la funció valor absolut F (x) = - x - i designar els conjunts d'arribada i partida que es ajunten als criteris de sobreyectividad.
Font: Autor
El domini de la funció es compleix per a tots els nombres reals R. D'aquesta manera l'únic condicionament s'ha de realitzar en el codominio, tenint en compte que la funció valor absolut només pren valors positius.
Es procedeix a establir el codomini de la funció igualant a el rang de la mateixa
[0, ∞)
Ara es pot concloure que:
F: [0, ∞) → R definida per F (x) = - x - És una funció exhaustiva
exercicis proposats
- Verificar si les següents funcions són sobreyectivas:
- F: (0, ∞) → R definida per F (x) = Log (x + 1)
- F: R → R definida per F (x) = x 3
- F: R → [1, ∞) definida per F (x) = x 2 + 1
- [0, ∞) → R definida per F (x) = Log (2x + 3)
- F: R → R definida per F (x) =-sec x
- F: R - {0} → R definida per F (x) = 1 / x
referències
- Introduction to Logic and Critical Thinking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
- Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Department of mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
- Principis d'anàlisi matemàtica. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanya.