- exemples
- Els avantatges dels logaritmes
- exemple
- Resposta
- Exercici d'aplicació: l'escala de Richter
- solució
- referències
La funció logarítmica és una relació matemàtica que associa a cada nombre real positiu x amb el seu logaritme i en una base a. Aquesta relació compleix amb els requisits per ser una funció: cada element x pertanyent a el domini té una imatge única.
Per tant:
Ja que el logaritme en base a d'un nombre x, és el nombre i a el qual s'ha d'elevar la base a per obtenir x.
-El logaritme de la base sempre és 1. Així, la gràfica de f (x) = log a x sempre intersecta a l'eix x en el punt (1,0)
-La funció logarítmica és transcendent i no pot ser expressada com polinomi o com a quocient d'aquests. A més de l'logaritme, aquest grup inclou a les funcions trigonomètriques ja l'exponencial, entre d'altres.
exemples
La funció logarítmica es pot establir mitjançant diverses bases, però les més utilitzades són 10 ie, on e és el nombre d'Euler igual a 2,71828….
Quan s'utilitza la base 10 el logaritme es diu logaritme decimal, logaritme vulgar, de Briggs o simplement logaritme a seques.
I si es fa servir el nombre i, llavors es diu logaritme neperià, per John Napier, el matemàtic escocès que va descobrir els logaritmes.
La notació emprada per a cada un és la següent:
-Logaritmo decimal: log 10 x = log x
-Logaritmo neperià: ln x
Quan es va a emprar una altra base, és absolutament necessari indicar-la com a subíndex, perquè el logaritme de cada número és diferent segons la base que es vagi a emprar. Per exemple, si es tracta d'logaritmes en base 2 s'escriu:
i = log 2 x
Vegem el logaritme de el número 10 en tres diferents bases, per il·lustrar aquest punt:
log 10 = 1
ln 10 = 2.30259
log 2 10 = 3.32193
Les calculadores comuns només porten logaritmes decimal (funció log) i logaritme neperià (funció ln). A Internet hi ha calculadores amb altres bases. En tot cas, el lector pot verificar, amb ajuda de la mateixa, que amb els valors anteriors es compleix:
10 1 = 10
i 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Les petites diferències de decimals es deuen a la quantitat de decimals preses en el càlcul de l'logaritme.
Els avantatges dels logaritmes
Entre els avantatges d'usar els logaritmes hi ha la facilitat que brinden per treballar amb nombres grans, amb el vostre logaritme en comptes del nombre directament.
Això és possible perquè la funció logaritme creix més a poc a poc a mesura que els números són més grans, tal com apreciem en la gràfica.
Així que encara tractant-se de nombres molt grans, els seus logaritmes són moltíssim més petits, i manipular nombres petits sempre és més fàcil.
A més els logaritmes compleixen les següents propietats:
- Producte: log (ab) = log a + log b
- Quocient: log (a / b) = log a - log b
- Potència: log a b = b.log a
I d'aquesta manera, els productes i quocients passen a ser sumes i restes de nombres més petits, mentre que la potenciació es transforma en producte senzill encara que la potència sigui elevada.
Per això els logaritmes permeten expressar nombres que variïn en rangs molt grans de valors, com ara la intensitat del so, el pH d'una solució, la brillantor de les estrelles, la resistència elèctrica i la intensitat dels terratrèmols a l'escala de Richter.
Figura 2. Els logaritmes es fan servir en l'escala de Richter per quantificar la magnitud dels terratrèmols. La imatge mostra un edifici col·lapsat a Concepción, Xile, durant el terratrèmol de 2010. Font: Wikimedia Commons.
Vegem un exemple de l'ús de les propietats dels logaritmes:
exemple
Trobar el valor de x en la següent expressió:
Resposta
Tenim aquí una equació logarítmica, en vista que la incògnita està en l'argument de l'logaritme. Es resol deixant un sol logaritme a cada costat de la igualtat.
Comencem col·locant tots els termes que contenen «x» a l'esquerra de la igualtat, i els que contenen només números a la dreta:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
A l'esquerra tenim la resta de dos logaritmes, que es pot escriure com el logaritme d'un quocient:
log = 1
No obstant això, a la dreta hi ha el número 1, el qual podem expressar com log 10, tal com vam veure anteriorment. llavors:
log = log 10
Perquè la igualtat es compleixi, els arguments dels logaritmes han de ser iguals:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Exercici d'aplicació: l'escala de Richter
El 1957 va ocórrer un terratrèmol a Mèxic la magnitud va ser de 7.7 en l'escala Richter. El 1960 va ocórrer un altre terratrèmol de major magnitud a Xile, de 9.5.
Calcular quantes vegades va ser el terratrèmol de Xile més intens que el de Mèxic, sabent que la magnitud M R en l'escala de Richter ve donada per la fórmula:
M R = log (10 4 I)
solució
La magnitud en l'escala de Richter d'un terratrèmol és una funció logarítmica. Calculem la intensitat de cada terratrèmol, ja que tenim les magnituds Richter. Fem-ho pas a pas:
- Mèxic: 7.7 = log (10 4 I)
Com la inversa de la funció logaritme és l'exponencial, apliquem aquesta a banda i banda de la igualtat amb la intenció d'aclarir I, que es troba en l'argument de l'logaritme.
Atès que són logaritmes decimals, la base és 10. Llavors:
10 7.7 = 10 4 I
La intensitat de l'terratrèmol de Mèxic va ser:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Xile: 9.5 = log (10 4 I)
El mateix procediment ens porta a la intensitat de terratrèmol xilè I Ch:
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Ara podem comparar les dues intensitats:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1. I M
El terratrèmol de Xile va ser unes 63 vegades més intens que el de Mèxic. Com la magnitud és logarítmica, creix més a poc a poc que la intensitat, així que una diferència d'1 en la magnitud, significa una amplitud 10 vegades més gran de l'ona sísmica.
La diferència entre les magnituds de tots dos terratrèmols és de 1.8, per tant podíem esperar una diferència en intensitats més propera a 100 que a 10, com efectivament va succeir.
De fet si la diferència hagués estat de 2 exactament, el terratrèmol xilè hauria estat 100 vegades més intens que el mexicà.
referències
- Carena, M. 2019. Manual de Matemàtica Preuniversitaria. Universitat Nacional d'el Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matemàtica 1er. Any Diversificado. edicions CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Àlgebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Càlcul d'una variable. 9na. Edició. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precàlcul: Matemàtiques per al Càlcul. 5ta. Edició. Cengage Learning.